Механика

Прямолинейное движение

Пользуясь вторым законом Ньютона, исследуем простейшие случаи прямолинейного движения материальной точки. Бели равнодействующая приложенных к точке сил равна нулю, то точка будет находиться в состоянии покоя, или равномерного прямолинейного движения:

1060-1.jpg

где v0скорость точки в начальный момент времени (при t = 0). Если по оси абсцисс откладывать время t, а по оси ординат скорость, то легко понять, что графиком скорости будет прямая, параллельная оси времени (рис. 4). Элементарный отрезок пути

1060-2.jpg

 

1060-11.jpg
Рис. 4. График скорости (`v=v0).

Путь за время t можно найти суммированием дельта S. Следовательно,

1060-3.jpg

 

1060-4.jpg

- знак суммирования. Рассмотрим случай равнопеременного (равноускоренного или равнозамедленного) движения или движения с постоянным ускорением (случай, когда ускорение точки

1060-5.jpg

График ускорения будет изображаться прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 5). Элементарное приращение скорости за время дельта t будет

1060-6.jpg

 

1060-12.jpg
Рис. 5. График ускорения (а=a0).

 

1060-13.jpg
Рис. 6.

а следовательно,

1060-7.jpg

Если в начале движения (при t = 0) точка имела скорость v0, то полная скорость будет равна сумме v0 + v1 т. е.

1060-8.jpg

График скорости (для определенности — равноускоренного движения, т. е. для а0 > 0) будет представлять прямую линию, наклоненную к оси абсцисс под углом, тангенс которого равен a0(tg a = а0). Элементарный путь дельта S будет подсчитываться по формуле

1060-9.jpg

и будет изображаться на рисунке в голубым столбиком. Пройденный точкой путь

1060-10.jpg

будет представлять собой площадь трапеции ОСАВ. Эту площадь можно вычислить, прибавляя к площади прямоугольника OCDB площадь треугольника CAD. Следовательно,

1060-14.jpg

Весьма полезная формула для вычисления пути S получится, если мы воспользуемся общеизвестной формулой для площади трапеции:

1060-15.jpg

Для дальнейшего полезно ввести понятие работы силы. Так как мы рассматриваем только прямолинейные движения, то для этих случаев элементарную работу определяют как произведение силы на элементарное перемещение. Если направление силы совпадает с направлением элементарного перемещения, то элементарная работа будет положительной; если направления элементарного перемещения и силы противоположны, то работа будет отрицательной. Работа силы на конечном участке пути находится суммированием элементарных работ. Если сила постоянна, то суммирование элементарных работ легко провести. Подсчитаем работу силы тяжести Р = mg0 при падении тела (точки) с высоты А (рис. 7). Элементарная работа будет

1060-16.jpg

 

1060-17.jpg

 

1060-22.jpg
Рис. 7.

Работа силы Р на пути h определится так:

1060-18.jpg

Таким образом, при падении тела (точки) с постоянной массой под действием силы тяжести работа равна произведению этой силы на высоту, с которой тело падало. Рассмотрим закономерности движения в однородном поле силы тяжести. В этом случае действующая сила будет Р = mg0 = const. Из второго закона Ньютона следует, что движение точки будет равноускоренным с ускорением a = g0 = const.

Пусть материальная точка массы т начинает падать из точки O,, расположенной на высоте h0, имея при этом начальную скорость, равную v0; на высоте h1<h0 скорость точки будет v1 Определим зависимость между v0 и v1. Пользуясь формулами равноускоренного движения, имеем:

1060-19.jpg

Из формулы (14) определим

1060-20.jpg

и подставим в формулу (13). После простых преобразований получим :

1060-21.jpg

Умножим правую и левую части соотношения (15) на массу точки т:

1060-24.jpg

Величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией точки. Формула (16) представляет один частный случай теоремы об изменении кинетической энергии. Полученный результат можно сформулировать так: изменение кинетической энергии материальной точки, движущейся в однородном поле силы тяжести, равняется работе силы тяжести на пройденном пути: S = h0 - h1. Формулу (16) можно переписать в виде:

1060-25.jpg

Величину Ph1 = mg0h1 называют потенциальной энергией материальной точки на высоте h1 и соответственно Ph0 = mg0h0 - потенциальной энергией на высоте h0.

Формула (17) утверждает, что при движении материальной точки в однородном поле силы тяжести сумма кинетической и потенциальной энергий точки есть величина постоянная. Это закон сохранения механической энергии точки. Закон сохранения механической энергии справедлив и для некоторых переменных сил, например для гравитационной силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния до притягивающего центра, а также для силы упругости, подчиняющейся закону Гука (сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия).

Вверх