Механика

Движение в поле тяготения

Исследования поля тяготения Земли показали, что в ряде случаев можно считать силу притяжения, обусловленную массой Земли, центральной (направленной к центру Земли) и подчиняющейся закону тяготения Ньютона, т. е.

где т - масса притягиваемой материальной точки (или сравнительно небольшого материального тела: самолета, ракеты, космического корабля и т. п.), М — масса Земли, n — постоянная тяготения (n=6,67*10^-11Н*м²/кг²), r — расстояние точки от центра Земли (рис. 12).

Если считать плотность Земли функцией только расстояния от центра, то можно совершенно строго доказать, что в этом случае Земля притягивает внешнюю материальную точку, как точка, расположенная в центре Земли и имеющая массу, равную массе Земли.

Мы будем считать Землю (приближенно) сферой радиуса r = R, и на поверхности Земли силу притяжения можно записать на основании соотношения (28) как

и на основании второго закона Ньютона F₀ = силе тяжести = mg₀, где g₀ — ускорение, сообщаемое массой Земли точке, расположенной на ее поверхности. Таким образом,

и, следовательно, гравитационную силу, обусловленную притяжением частиц земного шара для точки массой т, можно записать в виде:

где g_H - ускорение, обусловленное гравитационной силой Земли на высоте Я над поверхностью Земли

Рассмотрим движение искусственного спутника Земли по окружности радиуса R при H —> 0, пренебрегая сопротивлением атмосферы. На основании формулы (25) центростремительное ускорение спутника будет

где v₁—первая космическая скорость. Но, с другой стороны, это ускорение совпадает с гравитационным ускорением g₀, обусловленным массой Земли. Таким образом,

откуда первая космическая скорость

Зная v₁ и длину окружности радиуса R (длину экватора, например), можно найти время полного оборота спутника вокруг Земли. Это время будет равно 84 мин 26 с. Можно по формулам (25) и (29) найти скорость искусственного спутника Земли на любой высоте Н. В самом деле, приравнивая центростремительное ускорение

к гравитационному на высоте Н, получим:

Таким образом,

где (v₁)_H, - скорость спутника на высоте Н.

Первая космическая скорость убывает по закону (31) с увеличением высоты над поверхностью Земли (см. таблицу).

Таблица

В таблице даны значения скоростей искусственных спутников Земли, обращающихся на разных высотах по круговым орбитам, и периоды их обращения. Первая строка этой таблицы имеет чисто теоретическое значение, так как при скорости полета v = v_l пренебрегать у поверхности Земли силой сопротивления воздуха нельзя.

Формула для периода обращения спутника T_H будет:

Исходя из формулы (32) можно найти высоту полета Я такого искусственного спутника Земли, у которого время обращения будет равно 24 ч. (Такой спутник будет на экваторе «висеть» над вполне определенным меридианом и не двигаться относительно поверхности Земли. Мы называем теперь такие спутники геостационарными.) Простые вычисления дают H = 35810 км.

Решим теперь задачу о максимальной высоте подъема материальной точки, брошенной вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Гравитационное поле будем вначале (малые высоты подъема) считать однородным. В этом случае движение будет рав-нозамедленным и определяться по формуле

Когда точка достигает высоты Н=Н_тах, то ее скорость будет равна нулю. Таким образом, имеем соотношение

откуда

Формула (34) дает время полета до максимальной высоты Н_тах. Подставляя уравнение (34) в уравнение (33), получим максимальную высоту подъема:

Эта формула впервые была получена Г. Галилеем.

Можно решить задачу о максимальной высоте подъема и в ньютоновом поле тяготения Земли, когда гравитационная сила определяется формулой (29). Это решение требует знания высшей математики. Окончательная формула для переменного поля тяготения имеет вид:

Когда скорость v₀ мала по сравнению с первой космической

тогда из формулы (36) получается формула Галилея. Из формулы (36) можно получить величину второй космической скорости. Чтобы ракета покинула поле тяготения Земли, нужно неограниченно увеличивать H_maх; это будет возможно, если знаменатель дроби устремить к нулю:

откуда

Сравнивая v₁ (формула 30) с v₂, находим, что