Новости науки 28.02.01. Нестабильности в протяженных системах
Очень многие протяженные физические системы обладают способностью
самостоятельно эволюционировать, то есть как-то изменяться во времени
под действием внутренних процессов. Зачастую их эволюция сопровождается
образованием неких "узоров": нетривиальных структур, которые мы
будем в дальнейшем называть "паттернами". Удивительным является
то, что паттерны могут возникать даже в абсолютно однородных средах,
в которых изначально не было и намека на какую-либо периодическую,
упорядоченную структуру. Например, кристаллизация переохлажденных
жидкостей может создавать красивый узорный орнамент. Многие типы
гидродинамических неустойчивостей также демонстрируют возникновение
периодических, или, по крайней мере, очень упорядоченных паттернов
в абсолютно однородных жидких системах. Паттерны возникают и в химических
реакциях, в биологических системах, в диссипативных системах, в
оптически нелинейных средах и т.д.
Уже из этого перечисления ясно, что возникновение паттернов -
вовсе не специфическое свойство той или иной конкретной системы,
а явление очень общего плана. Возьмите любую систему, которая: а)
пространственно протяженна б) не находится в положении равновесия,
а эволюционирует, в) имеет локальный характер эволюции (то есть,
изменение системы во времени в данной точке определяется свойствами
системы в этой точке) -- и можно с большой уверенностью сказать,
что в этой системе начнут возникать нетривиальные структуры. В связи
с общностью и важностью проблемы, возникновение пространственно-временных
паттернов давно изучается как теоретиками, так и экспериментаторами.
Некую черту под этими исследованиями проводит большой обзор [M.Cross
and P.Hohenberg, "Pattern formation outside of equilibrium", Rev.Mod.Phys.
v.65 n.3 (1993) 851].
Однако исследования в этой области пока далеки от завершения:
в недавней работе [M.Argentina, P.Coullet, E.Risler, Phys.Rev.Lett.
86 (2001) 807] были приведены результаты теоретических исследований,
позволяющих глубже понять причину, приводящую к возникновению пространственных
паттернов в однородных протяженных системах.
Рассмотрим протяженную однородную систему, эволюция которой представляет
собой простой периодический процесс. Предположим, что уравнения,
описывающие эту систему, допускают "пространственно-тривиальное"
решение, периодическое во времени, но не зависящее от координат.
Другими словами, система при таком решении осциллирует как целое,
без каких-либо пространственных неоднородностей: фазы колебания
системы одинаковы во всех ее точках.
Предположим теперь, что в систему привнесено небольшое неоднородное
возмущение: например, в окрестности какой-то точки осцилляции слегка
сдвинулись по фазе от колебаний остальной части системы. Возникает
вопрос: как этот "выбившийся" из общего ритма участок будет взаимодействовать
с окружением? Вернутся ли его осцилляции обратно, "в ногу" во всеми?
Или же это приведет к спонтанному разрушению синхронного колебания
всей системы?
Вопрос, как видно, достаточно общий, а потому и решаться должен
самыми общими методами, без привлечения специфических свойств той
или иной физической системы. Этот анализ и был проделан в работе
[M.Argentina, P.Coullet, E.Risler, Phys.Rev.Lett. 86 (2001) 807].
В этой работе аналитически исследовалась эволюция двух взаимодействующих
скалярных полей. Была построена модель, которая допускала синхронные
колебания обоих скалярных полей (модель, в общих чертах напоминающая
известную эволюционную модель хищник-жертва). Было выяснено, что
при некотором конкретном устройстве взаимодействия между этими двумя
полями возникала пространственная неустойчивость: даже небольшие
неоднородности усиливались и приводили к нетривиальной пространственной
структуре.
Паттерны, отвечающие разным типам нестабильностей в протяженных
системах
На Рисунке показаны два типа паттернов, возникающих в этой системе.
Здесь градациями серого цвета показана величина одного из скалярных
полей на x-t плоскости. Движение вверх отвечает эволюции системы
со временем, тогда как нетривиальная горизонтальная структура и
есть искомый паттерн. Нестабильность, изображенная на рисунке (а),
названа авторами "фазовой турбулентностью". Действительно, фаза
колебаний случайно скачет здесь от одного участка системы к другому.
Здесь мы видим также, что паттерн не имеет фиксированной длины волны,
являясь тем самым проявлением апериодической нестабильности.
На Рисунке (б) характер пространственной структуры уже иной: здесь
то появляется, то исчезает периодический узор со вполне характерной
длиной волны. Важно понимать, что этот период определяется не каким-либо
внешним воздействием, а есть свойство уравнений, некий внутренний
параметр, спрятанный в детальной динамике системы. Именно поэтому
авторы называют наблюденные неустойчивости самопараметрическими.
Наконец, было выяснено, что тот или иной вид паттерна зависит
главным образом от знака ангармонических членов в структуре взаимодействия
двух скаляров.
Подводя итоги работы, авторы делают важное замечание. Пространственные
паттерны, аналогичные найденным в этой работе, уже наблюдались экспериментально
в различных системах. Однако до сих пор не было четкого понимания,
что все эти паттерны имеют единую природу, связанную вовсе не с
явлениями в данной конкретной системе, а с математическими законами,
описывающими эволюцию во всех этих случаях. В общем же подходе,
примененном в этом исследовании, происхождение нестабильности, равно
как и ее основные свойства, становятся прозрачными.
|