Пифагоровы треугольники
Футбольное поле - это прямоугольная площадка длиной примерно 90 м и
шириной 60 м. Как разметить такую площадку? Прямоугольник на листе бумаги
строят при помощи линейки и циркуля или линейки и угольника. Эти приборы
слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности
в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле. Если же
сделать циркуль и угольник достаточно больших размеров, то ими будет невозможно
пользоваться.
С давних времен известен очень простой способ построения на местности
прямых углов. Выполним такое построение. Возьмем шнур и три колышка. На
шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим три части шнура MB,
ВС, CN так, чтобы первая часть состояла из пяти, вторая из четырех
и последняя из трех таких долей. Узлы М и N свяжем вместе и обозначим
вновь полученный узел через А.
С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой
так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведен
перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так,
чтобы участки АВ и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке,
где будет находиться узел А, колышек. Задача построения на местности
прямого угла нами решена, так как угол АСВ прямой.
Чтобы убедиться в этом, докажем, что прямоугольным будет всякий треугольник,
стороны которого, измеренные какой-нибудь единицей измерения, выражаются
числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный треугольник
с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем
его гипотенузу х. По теореме Пифагора x2 = 32
+ 42. Поэтому х = 5. Таким образом, три стороны данного
треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника.
А отсюда следует, что и данный треугольник прямоугольный.
Доказанное свойство треугольника со сторонами 3, 4 и 5 было, по-видимому,
известно еще древнеегипетским землемерам: такой треугольник называют египетским.
Всякий целочисленный треугольник (т. е. такой, длины сторон которого
выражаются целыми числами), подобный египетскому, также является прямоугольным.
Существуют ли другие целочисленные прямоугольные треугольники?
Циркулем и угольником таких размеров невозможно было бы пользоваться
Построение прямого угла на местности
Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного
треугольника обозначить буквами х, у и г, то по теореме Пифагора
получим:
Можно доказать, что верно и обратное, т. е. если х, у и z
- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (1), то треугольник
со сторонами х, у и z прямоугольный. Целочисленный прямоугольный
треугольник для краткости иногда называют пифагоровым.
Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников
сводится к решению уравнения (1) в натуральных числах. Рассмотрим несколько
других задач.
|