Простейшие задачи
При решении геометрических задач координатным методом постоянно
приходится опираться на несколько совсем простых стандартных задач:
определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка
и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение "дана точка" означает,
что дано ее координатное обозначение (х; у), т. е. заданы
два числа х, у. "Найти точку" означает найти ее координатное
обозначение (х; у).
1) Расстояние между двумя точками.
Задача. Даны две точки А1 (х1; у1)
и А2 (х2; у2)- Найти
расстояние между ними (рис. 5).
Рис. 5.
Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что
искомое расстояние d служит гипотенузой треугольника с катетами
|х2 - х1|и |у2 - у1|,
поэтому
(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что,
конечно, не меняет результата). Важно заметить, что формула (1)
верна при любом расположении точек А1 и A2.
Проверьте, что, например, для A1 ( - 1; - 2),
A2 (3; - 5) катеты будут действительно равны:
|3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает:
Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое
значение. Благодаря этой общности при решении задач аналитически
не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек;
можно решать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается,
то обычно лишь приблизительный, который служит только схемой, местом,
куда записываются данные (координатные обозначения точек и пр.),
а затем заносятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные
результаты.
Рис. 6.
2) Середина отрезка. Даны концы отрезка A1
(x1; y1), А2 (х2; у2).
Найти его середину М. Обозначим координаты искомой середины
М через X, у. Из рис. 6 видно, что ордината у служит
средней линией трапеции, поэтому
точно так же
Если знаки yl и у2 противоположны,
то это доказательство неубедительно, однако формулы (2) остаются
справедливыми во всех случаях. Проверьте это. Дан треугольник AВС:
А (12; 6), В ( - 2; 4), С (6; -2). Найти длины его
сторон и медиан. На оси Ох найти точку М, которая
находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.
Решение. Обозначим координаты искомой точки М через (х;
у). Она лежит на оси х, следовательно, у - О. Остается
определить х. Записав аналитически (см. формулу (1)) условие
задачи: AM = 5, получим уравнение для определения х.
Ответ: М (7,9...; 0) и М' (-1,9...; 0).
Задача 6. Найти точку М (х; у), находящуюся на равных расстояниях
от осей координат и удаленную на 5 единиц от точки А (- 1;
6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |х|=
|у|, (х+ 1)2 + (у - 6)2 = 52.
Всего четыре решения.
|