Основные задачи на прямую
Как мы видели, прямая однозначно определяется ее уравнением. Поэтому
уравнение прямой может служить как бы ее "именем"; постоянно говорят: "Прямая
Ax + By + C =0"; это значит,
что прямая задана уравнением Ах + Ву
+ С = 0.
1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую
по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь
две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, провести через
них прямую. Пример. Построить прямую
2х - Зу +
8 - 0. Этому уравнению удовлетворяют
точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6), .... Строим
какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через
них прямой по линейке не будет достаточно точным), например (-4; 0) и (5;
6), и соединяем линейкой.
2) Даны две различные точки A1[x1;y1]
и А2[х2;у2] Найти прямую A1A2.
(Найти ее уравнение.)
Убедимся, что искомое уравнение можно записать так:
Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат
х, у, значит, оно есть уравнение прямой. Подставляя вместо текущих
координат х и у сначала х1 и y1
а затем х2 и y2, убеждаемся каждый
раз, что уравнение обращается в тождество, значит, эта прямая проходит
и через точку (х1; y1), и через точку (х2;
y2).
Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:
Однако последняя перестает служить, если х1 = у2или y1= у2.
3) Даны две прямые: Ах + Ву + С = 0 и А'х + + В'у + С' = 0. Найти
точку их пересечения.
Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее
координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения
их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя
неизвестными).
4) Условие параллельности. Как следует из сказанного ранее, угловой
коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство
угловых коэффициентов двух прямых означает их параллельность. Так как k-=A/B,
то условие параллельности (k = k') прямых Ах + Ву + С = 0 и
А'х + В'у.+ С' = 0 может быть записано и так:
5) Условие перпендикулярности. Бели прямые перпендикулярны, то
углы аи а', образуемые ими с осью Ох, разнятся на 90°; a'
= а + 90°, поэтому их угловые коэффициенты k и k' удовлетворяют
равенству kk' = - 1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем
треугольник ОEЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекциями
катетов на гипотенузу, поэтому их произведение равно квадрату высоты:
k(-k')=OE2=1. Иначе условие перпендикулярности пишут в виде
k' = -1/k или, в силу равенств к
виде АА' + ВВ' = 0.
(6)
Рис. 13.
Задача 7. Через точку
(2; -3) провести прямую, перпендикулярную
прямой 4х - 3y + 2 = 0.
Решение. Для изменения направления на перпендикулярное
достаточно (выполняя условие (6)) поменять местами
коэффициенты Л и в и у
одного из них изменить знак: Л = 4,
В= - 3; теперь
возьмем А'= +3, В' = 4. Уравнение
искомой прямой уже можно написать: Зх +
4у + С' = 0. Неизвестный
пока член С' определится из
требования, чтобы данная точка (2; -3) лежала
на этой прямой 3.2 + 4.(-3)+С' = 0,
или С' = 6.
Ответ: Зx + 4y +
6 = 0.
6) Расстояние между точкой и прямой. Рассмотрим частный
случай этой задачи: найти длину р
перпендикуляра из начала О (0;
0) на прямую Ах+Ву+С=0.
Решение удобно вести по такой схеме.
1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на
Ах + Ву.+ С = 0 (см. задачу 7).
Ответ: Вх - Аy = 0.
2. Проекция О' начала О на данную прямую получается
совместным решением уравнений:
Ответ:
3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О
и О':
В общем случае задача: "Найти расстояние d от точки Р0
(X0; у0) до прямой Ах + Ву + С = 0" - может
быть решена тем же путем. В результате получим:
т. е. расстояние от точки (х0; у0) до прямой
Ах+Ву+С=0 равно частному от деления абсолютной величины результата
подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки (х0;
y0) на "нормирующий" корень A2+ В2.
Все приведенные в пунктах 1), 2), ..., 6) задачи следует научиться решать
совершенно свободно, так сказать, "с закрытыми глазами".
|