Окружность
Как известно, окружностью называется множество точек плоскости, находящихся
от заданной точки С этой плоскости (центра) на заданном расстоянии R (радиус).
Запишем это определение аналитически относительно декартовой системы координат.
Пусть С (а; b). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности
PC = R, т. е.
или
Это и есть (общее) уравнение окружности. Раскрыв в нем скобки
убеждаемся, что это есть частный случаи общего уравнения второй степени
относительно х и и:
В нашем случае A = С=1, В = 0. Оказывается, что всякое уравнение
второй степени относительно декартовых координат к, у, в котором
коэффициенты при X2 и у2 равны (и по
абсолютной величине и по знаку: А = С), а коэффициент при ху
равен нулю (В = 0), либо является уравнением некоторой окружности
(быть может, нулевого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости
ему не удовлетворяет.
Задача 8. Построить окружность 2х2+2у2 + 3у
= 0.
Пишем уравнение так:
или
Сравнивая с общим уравнением окружности, видим, что а = 0, b
= -3/4; R =3/4
Теперь легко выполнить построение. Если в общем уравнении 2-й степени
А не равно С или В не равно 0, то такое уравнение уже не
будет уравнением окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии:
парабола, эллипс (см. ниже, пример 2), гипербола или (если левая часть
уравнения разлагается на множители первой степени) пара прямых. Все они
называются линиями, второго порядка. Впрочем, бывает и так, что
ни одна точка плоскости уравнению не удовлетворяет, например: 2х2+3у2+1=0
(мнимый эллипс).
|