Фигуры и тела

Построение дедуктивной системы

Прежде всего, ясно: все правильные предложения доказать нельзя. Действительно, вспомним, как доказывают геометрические предложения. Обычно опираются на другие предложения, которые были доказаны раньше. Эти предложения в свою, очередь доказывают ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д.

Ссылки мы могли бы продолжать до бесконечности, и процесс доказательства никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Аристотель (IV в. до н. э.). И вот геометры пришли к удивительно смелой мысли, что все геометрические свойства тел можно вывести из небольшого числа основных предложений - аксиом. Такие предложения принимались без доказательств, их справедливость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необходимые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказательства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии - "Начала" -пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них - знаменитые "Начала" Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и служили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выполнения некоторых простейших геометрических построений, например: 1) через две точки всегда можно провести прямую линию, 2) из данной точки данным радиусом можно описать окружность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в геометрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших построений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

Среди постулатов Евклида особое место занимает так называемый V постулат - о параллельности. В "Началах" он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов а и бета меньше 2d, то при продолжении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1). Этот постулат сыграл огромную роль в развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.

Кроме постулатов Евклид принял также некоторые общие предложения, верные не только для геометрических величин, но и для чисел, - аксиомы: 1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой; 2) если к равным величинам прибавить равные, то и суммы будут равны; 3) целое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью построил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод определения площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает "Начала" учение о правильных выпуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными многоугольниками и все многогранные углы при вершинах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять типов правильных многогранников (рис. 2): тетраэдр (4-гранник), гексаэдр, или куб (6-гранник), октаэдр (8-гранник), додекаэдр (12-гранник), икосаэдр (20-гранник) - и никаких других правильных многогранников не существует.