Координаты на сфере
Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается
в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально
противоположные точки, одну из них - N назовем условно северным полюсом,
другую - S - южным. Какой-нибудь из
"меридианов" (кратчайший путь по сфере из
S в N) назовем начальным меридианом; проходящую через центр О
сферы и перпендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной,
а пересечение ее со сферой - экватором, на экваторе изберем направление,
скажем, против часовой стрелки, если смотреть из N. Положение любой точки
М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем
ее долготой, - угол ф между плоскостью начального
меридиана и плоскостью, проходящей через М и ось SN (угол должен
отсчитываться в направлении, соответствующем выбранному на экваторе). Широтой
точки М будем называть угол 8 между радиусом
ОМ и плоскостью экватора (0 считается положительным для точек северного
полушария и отрицательным для южного). Будем писать: М (ф;
6) , ставя на первое место долготу, на второе -
широту.
Пример. Проверьте правильность координатного
обозначения точек на рис. 21.
Рис. 21.
Все точки с одинаковой долготой ф0 заполняют меридиан, уравнение
которого поэтому ф=ф0. Все точки с одинаковой широтой 6о заполняют
параллель 0 = 00. Уравнение, связывающее
текущие координаты ф и 0, определяет, как и в плоской геометрии, кривую;
неравенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько
областей, на которые эта кривая разделяет
сферу. Так, неравенство 0<0 определяет южную полусферу, 0>0 -северную;
уравнение 0=0 есть уравнение экватора.
Если сферу отнести к декартовым координатам в пространстве, приняв центр
О сферы за начало, ось SN - за ось z, ось х направив
через точку <0°; 0°> , ось у - через <90°; 0°> , то декартовы
координаты х, у, г любой точки М сферы легко выразить через
долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции
М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим
полярную систему координат. Из рис. 21 видно, что для M1
(х; у; 0) полярный радиус r = Rcos0, а полярный угол ср совпадает с
долготой точки М. Кроме того, z = R sin 6. Учитывая формулы
(11), получим:
По этим формулам вычисляют декартовы координаты точки М (х; у,z),
если известны ср и 9.
На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать
ср и 6 переменными, придавая им всевозможные значения в естественных пределах
0°<ф<360°, -90°=<0=<+90°; тогда точка М (ф;0) будет
перемещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические
уравнения линии, в которых декартовы координаты х, у, я выражены
через один переменный параметр t. Разница лишь в том, что теперь х,
у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное
образование), а поверхность (образование двумерное). Подобные уравнения
называют параметрическими уравнениями поверхности; переменные параметры
чаще всего здесь обозначают буквами и и v. Итак, параметрические
уравнения сферы запишем в виде:
Если из этих уравнений исключить параметры и, V (для этого проще
всего возвести уравнения (13) в квадрат и сложить), получим обычное уравнение
сферы: х2+y2 + z2 = R2.
|