Интеграл
Мы разобрали ряд задач из различных областей физики, техники, геометрии.
Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый
раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, площади, пути
и т. д.) мы получали сумму вида:
Здесь f(x) - некоторая функция, заданная на отрезке от а до
b, а х0 = а, х1, ..., хп-1,
хп = b - точки на этом отрезке. Например, при вычислении
пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только
время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно,
несущественно), а было равно нулю, a b равнялось времени
Т движения автомобиля.
Суммы такого вида встречаются в математике и ее приложениях очень часто.
Их называют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой
величины только приближенно. Но если мы будем брать точки X0,
Х1, ..., хn все гуще и гуще на отрезке от а до
b, то интегральные суммы будут приближаться к некоторому числу,
а именно к точному значению искомой величины. Это число называется интегралом
от функции f(x) на отрезке от а
до bи обозначается через
Таким образом,
где предел (lim) берется при условии, что число промежутков неограниченно
увеличивается, а их длины стремятся к нулю. В самом обозначении
сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из которой получается
интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде интеграла. Поэтому сам знак
интеграла есть просто первая буква латинского слова summa (сумма). Вслед
за знаком интеграла указывается, что суммировались выражения f(xk)(хk-xk-1)-
Только вместо разности xk-xk-1 пишут dx,
где d - первая буква латинского слова differentia (разность).
Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим
понятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче
и не приближенно, а точно. Например, формула объема любого тела принимает
вид:
где Н - высота этого тела, a S(h) - площадь сечения, проведенного
параллельно основанию тела на высоте h от основания. Формулу площади
фигуры, можно записать в виде:
где f(x) - высота кривой CD в точке с абсциссой х.
Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается
через скорость v(t) по формуле:
|