Интеграл и производная

Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула площади прямоугольника: S = hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота которой во всех точках одинакова и равна h (рис. 11), так что его площадь может быть записана в виде интеграла:

где h - постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

Фокус геометрии движения

Начертите замкнутую кривую, пересекающую себя 10-12 раз. Но кривая может пересечь себя в каждой точке не больше одного раза. Все точки пересечения обозначьте различными буквами (в любом порядке). Теперь поставьте карандаш на любую неузловую точку и двигайтесь вдоль кривой, как бы повторяя ее построение. Проходя узловую точку, называйте букву, которой точка обозначена.

Обойти надо всю кривую и вернуться в исходный пункт. На каком-нибудь этапе движения назовите две последовательно проходимые буквы, но не в порядке их следования, а наоборот. Например, если за буквой В следует буква F, вы произносите вслух не "В, F", а "А, В". Мне не сообщайте о такой перестановке последовательности двух букв, но запомните это место. Я его угадаю.

Фокус основан на теореме теории узлов. Угадывающему надо записывать называемые буквы на полоске бумаги поочередно сверху черты и снизу. Если перестановки букв яе было, то каждая буква появится однажды сверху и однажды снизу черты. Если перестановка была, то одна буква появится дважды сверху и одна дважды снизу. Вот в этих буквах и была перепутана их последовательность! Пример. Мне называют буквы: С, С, Е, А, В, D, Е, A, D, В. Я записываю:

Сверху черты два раза встречается Е, а снизу - два раза А. Значит, узлы Е и А были названы не в той последовательности, в которой они располагались.

Сколько рыб в озере!

Рыбоводу понадобилось определить, сколько в озере рыб, годных для улова. Он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, пересчитал добычу. Рыб оказалось 38. Сделав пометку на каждой рыбке, рыбовод всех их выпустил в озеро.

На другой день он опять забросил ту же самую сеть и выловил 53 рыбки, две из которых оказались мечеными. По этим данным рыбовод и узнал приблизительно число рыб в озере, годных для улова данной сетью. К какому результату пришел рыбовод?

Вы можете облегчить себе поиски решения задачи, прочитав статью "Наука о случайном". (h - постоянная). В частности, при h = 1 получаем:

Вспомним теперь формулу площади прямоугольного треугольника: S =1/2hb, где h и b - катеты. Из рис. 12 видно, что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота у которой в точке с абсциссой х равна hx/b(это вытекает из подобия треугольников ОАВ и О CD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:

Таким образом, мы доказали, что

Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h - b, то получаем формулу:

Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пирамиду с ребром в основании, равным 6, и высотой, равной этому ребру (рис. 13). Поставим пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость параллельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат со стороной, тоже равной х, а площадь его S(x) будет равна х². Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

или

Найденные выше формулы (5), (6), (7), очевидно, можно объединить в одну общую формулу:

при n = 0, 1, 2. Эта формула, как доказывается в математике, справедлива не только при п = О, 1, 2, но и при любых отличных от -1 значениях показателя п, например :

Часто бывает нужно найти интеграл от многочлена. Оказывается, что многочлены можно интегрировать почленно, а числовой множитель можно выносить за знак интеграла. Например:

Вообще если

некоторый многочлен n-й степени, то его интеграл находится по формуле: