Интеграл и производная

Как измерить скорость полета пули

Мы часто говорили о скорости движения (например, автомобиля). Мы имели формулу:

в которой v(t) означает скорость движения тела в момент времени t. Такую скорость в физике называют мгновенной скоростью. Каким же образом можно измерить мгновенную скорость движения? Если речь идет о скорости движения автомобиля, в кабине которого мы едем, то все обстоит очень просто - надо лишь посмотреть на стрелку спидометра, и мы будем знать скорость движения. Но как узнать скорость движения автомобиля, проезжающего мимо нас по улице, или скорость полета пули? Мы знаем, что существуют приборы для измерения расстояний (линейки, рулетки и др.). Приложим такой прибор к измеряемому расстоянию, и ответ сразу виден. Есть приборы и для измерения времени (часы, хронометры). Но "скоростемеров" - приборов, которые можно было бы "приложить" к движущемуся мимо нас телу, чтобы непосредственно по его показанию узнать скорость движения тела, нет. Да и как "приложить" прибор к мчащемуся мимо автомобилю или летящей пуле?

До некоторой степени нам могут помочь приборы, измеряющие расстояние и время. Эти приборы позволяют измерить путь, который пролетела пуля, и время, которое она на это затратила. Разделив путь на время, мы и узнаем скорость полета пули. Однако таким образом мы получаем лишь среднюю скорость полета пули, которая мало о чем говорит: ведь сопротивление воздуха постепенно замедляло движение пули, и потому в конце пути она летела с меньшей скоростью, чем в его начале. Поэтому для определения скорости пули в некоторой точке ее пути поступают иначе. В этой точке ставят лист тонкого материала, соединенный с часами таким образом, что они отмечают момент времени t₁, когда пуля пробивает этот лист. На небольшом расстоянии от него ставят второй лист, также соединенный с часами, так что они отмечают момент t₂, когда пуля его пробивает (рис. 18). Пусть первый лист находится на расстоянии s₁ от линии огня, а второй -на расстоянии s₂. Тогда расстояние s₂-s₁ пуля пролетает за время t₂-t₁. Значит, средняя скорость полета пули за это время равна:

Но и это измерение не дает точного значения мгновенной скорости в момент t₁. Ведь воздух тормозил пулю, когда она летела между листами, и ко второму листу пуля подлетела с несколько меньшей скоростью, чем к первому. Чтобы уменьшить влияние сопротивления воздуха на скорость пули, надо ставить листы ближе друг к другу. И чем ближе будет второй лист к первому, тем точнее измерим мы мгновенную скорость полета пули в момент t₁ (мы считаем, конечно, что у нас совершенно точные часы и безукоризненные линейки). При этом чем ближе друг к другу расположены листы, тем за меньший промежуток времени t₂-t₁ пролетает пуля расстояние между ними. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость полета пули равна:

где предел берется при условии, что значение s₂ приближается к значению s₁ (или, что то же самое, при условии, что t₂ приближается к t₁).