Умеете ли вы проводить касательную?
Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспомните построение касательной
к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной
к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только
ничего не сказано о проведении касательной к любой кривой, но даже не определяется,
что это такое. Нельзя, разумеется, определять касательную как прямую, имеющую
с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только
в одной точке А (рис. 19), но вряд ли кто-нибудь может подумать,
что это касательная. Что же такое касательная к кривой и как ее провести?
Постараемся ответить на эти вопросы. Проведем через точку М, лежащую
на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать
по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки
М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная
к кривой в точке М.
Рис. 19
Рис. 20.
Для окружности это определение касательной совпадает с обычным (рис.
21): по мере приближения точки N
к точке М угол OMN приближается
к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.
Рис. 21
Итак, касательная - это прямая, к которой приближается секущая MN,
когда точка N приближается (по рассматриваемой кривой) к точке М.
Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой
формулы. Для этого будем считать, что кривая А В является графиком
некоторой функции y = f(x).
Обозначим ординаты точек М и
N через у1и у2, а их абсциссы
- через
х1 и
х2. Рассматривая прямоугольный
треугольник MPN с гипотенузой MN и катетами, параллельными
осям координат (рис. 22), мы можем легко определить угол бета, под которым
секущая наклонена к оси х:
Но из рис. 22 ясно, что
Рис. 22.
Таким образом,
Если теперь точка N начнет по кривой А В приближаться
к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться
к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под
которым касательная наклонена к оси х:
Предел берется при условии, что точка N приближается к точке М, т.
е. что значение x2приближается к х1.
|