Производная
Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее
различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость
движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих
случаях имели скорость изменения некоторой величины: скорость движения
есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть
скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере
мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной
есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х.
Действительно, отношение y2-y1/x2-x1
представляет собой среднюю скорость возрастания ординаты при перемещении
от точки х1 к точке х2, а предельное
значение этого отношения (равное tg a) дает мгновенную скорость изменения
ординаты.
Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения
некоторой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый
взгляд очень непохожих величин получались очень похожие формулы. Чисто
математически скорость изменения можно определить следующим образом. Пусть
мы имеем функцию y = f(x). Обозначим те значения, которые эта функция
принимает в двух точках х1 и х2, через
у1 и у2. Тогда разность y2-y1
показывает, на сколько изменилось значение рассматриваемой функции
при переходе от значения х1 к значению х2,
а отношение
представляет собой среднюю скорость изменения функции y = f(x) на
промежутке от х1 до х2. Если теперь
уменьшать этот промежуток, приближая значение х2 к х1,
то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассматриваемой
функции в точке х1; она равна:
где предел берется при условии, что значение х2 приближается
к х1. Эта мгновенная скорость изменения называется производной
от функции y = f(x) по аргументу х в точке х1;
она обозначается через f'(x1).
В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная
скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной,
но мы их не будем указывать. Конечно, производную можно находить в различных
точках, так что производная f'(x) есть опять некоторая функция от
х. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии
могут быть сформулированы с помощью производной.
Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по
времени:
Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы
радиоактивного вещества m(t) по времени:
Наконец, тангенс угла наклона касательной к графику функции у = f(x),
проведенной в точке с абсциссой х, есть производная от функции
f(х):
|