Производная показательной функции
Теперь продифференцируем показательную функцию у = ех.
Мы уже знаем (см. статью "Функции в природе и технике"), что
касательная к кривой у = ех, проведенная в точке
пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом 45°. Вспоминая
геометрический смысл производной (см. стр. 343), мы можем сказать,
что производная функции у = ех в точке х =
0 равна tg45°, т. е. 1. Итак, (ех)' | при
х=о =1
Чтобы вычислить производную функцию у = ех в
какой-либо точке х0, сдвинем график этой функции
на отрезок x0. После сдвига в точке х ордината
станет равной не ех, а ех-х0 , т.
е. сдвинутая кривая является графиком функции у = ех-х0
(рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой
у = ех в точке x = 0, перейдет в касательную,
проведенную к сдвинутой кривой (т. е. кривой у = ех-x0)
в точке х=х0 (рис. 34).
Рис. 33
Рис. 34
Таким образом, касательная к кривой у = ех-x0 в
точке x0 наклонена к оси х под углом 45°,
т. е.
Теперь легко найти производную функции у = ех в
точке X=X0. В самом деле, так как постоянный множитель
еx0 можно вынести за знак производной, получим:
Этим доказано, что производная от функции ех в
точке X = X0 равна ех0 • Так
как x0- произвольная точка, то мы можем просто
написать:
С помощью несложных рассуждений можно вывести следующую формулу:
|