Интеграл и производная

Радиоактивный распад

Многие физические законы связывают между собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радиоактивный распад. Скорость распада тем больше, чем больше взято радиоактивного вещества. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 с распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 с распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 с 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой u см. формулу (10)) прямо пропорциональна массе m имеющегося радиоактивного вещества:

Здесь k - положительный коэффициент пропорциональности, а знак " - " поставлен потому, что вещество распадается и его становится меньше, т. е. скорость распада отрицательная. (Этот закон, связывающий массу радиоактивного вещества и скорость распада, справедлив лишь в случае, если масса радиоактивного вещества не слишком велика и не происходит цепной реакции.)

На первый взгляд кажется, что из уравнения (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными и и от (коэффициент пропорциональности k для каждого вида радиоактивного вещества определяется из опыта), а для нахождения двух неизвестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти: ведь и - это скорость изменения массы т, а потому и и=т'. Поэтому мы

можем переписать закон радиоактивного распада, т. е. формулу (16), в виде:

Мы получили одно уравнение для определения одного неизвестного т. Только это уравнение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину т и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция m = Ce^-kt, где С - любое число, является решением дифференциального уравнения (17) (т. е. если подставить в это уравнение вместо т эту функцию, то оно обратится в тождество), В самом деле:

Можно показать, что других функций (кроме m(t)=Се^-kt), удовлетворяющих уравнению (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t) = Ce^-kt. Это и есть закон уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени. У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная С? На этот вопрос нетрудно ответить. Из формулы m(t) = Ce^-kt находим (полагая t = 0), что масса радиоактивного вещества в начальный момент времени t = 0 была равна Се⁰=С. Таким образом, С - это масса радиоактивного вещества в начальный момент времени; ее принято обозначать через m₀. Поэтому, заменяя С на т₀, получаем окончательный вид закона радиоактивного распада:

Найдем теперь, через сколько лет количество радиоактивного вещества уменьшится вдвое. Для этого нужно определить число T0 из уравнения e^-kT0 = 1/2. После логарифмирования (по основанию е) находим, что

(через lп х мы обозначаем логарифм числа х по основанию е). Этот промежуток времени Т₀ называют периодом полураспада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактивного вещества, а зависит только от k, т. е. от того, какое взято вещество. Например, период полураспада радия равен 1590 годам, урана-238 - 4,5 млрд. лет, тория G - всего 0,0000003 с.

С помощью числа T₀ закон радиоактивного распада можно записать так:

В этой форме его обычно и используют в физике.