Леверье и Адаме открывают новую планету
По второму закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:
Но ускорение тела, движущегося прямолинейно, представляет собой
скорость изменения скорости, т. е. является производной от скорости:
a = v'. Сама же скорость является производной от пройденного
пути: v = s'. Таким образом, чтобы найти ускорение движущегося
тела, надо два раза продифференцировать функцию s(t).
Поэтому ускорение называют второй производной от пути
по времени. Обозначают это так:
Пользуясь этим обозначением, мы можем записать второй закон Ньютона
в следующем виде:
Сила F зависит от многих обстоятельств: от времени, от скорости
движения, от того, в какой точке пространства находится движущееся
тело. Например, на парашютиста, спускающегося с раскрытым парашютом,
действуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха, которую
можно считать пропорциональной скорости падения, т. е. равной -kv.
Таким образом, общая сила, Действующая на парашютиста, равна:
Следовательно, движение парашютиста описывается дифференциальным
уравнением:
Иной вид имеет уравнение движения ракеты, вертикально поднимающейся
по инерции после полного сгорания горючего. Сила притяжения ракеты
к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния ракеты от центра
Земли, т. е.
(мы считаем, что ракета вышла из земной атмосферы и потому на нее
не действует сила сопротивления воздуха). Таким образом, указанное
движение ракеты описывается дифференциальным уравнением:
где m - масса ракеты. (Этим уравнением описывается также
вертикальное падение метеорита на Землю до вхождения его в атмосферу.)
Вообще второй закон Ньютона позволяет описывать самые разнообразные
движения тел с помощью дифференциальных уравнений. Можно написать
дифференциальные уравнения для движения поршня паровой машины, корабля
в море, планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли.
Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников
(эти уравнения весьма сложны, так как планеты притягиваются не только
к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение,
узнают моменты солнечных и лунных затмений. Когда однажды оказалось,
что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые
нисколько не усомнились в "правильности" математики. В середине
XIX в. французский астроном У. Леверье и английский астроном Дж.
Адаме одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение,
что отклонение Урана вызывается притяжением новой, до тех пор неизвестной
планеты. С помощью дифференциальных уравнений они высчитали положение
этой новой планеты и указали, где нужно ее искать на небе. Точно
в указанном месте эта планета (ее назвали Нептуном) была затем обнаружена.
Развлечение с числами
В последовательности натуральных чисел зачеркните простое число
р и все кратные ему. Из оставшихся чисел образуйте такую
последовательность: единица, сумма первых двух чисел, сумма первых
трех чисел и т. д. В получившейся последовательности снова зачеркните
числа, кратные р, и опять образуйте последовательность сумм
таким же способом, как первый раз. Если указанную операцию выполнить
р раз, причем в последний раз уже не производить никаких
вычеркиваний, то образовавшиеся числа будут р-ми степенями натуральных
чисел.
Пример, Пусть p = 3. Тогда из последовательности натуральных чисел
надо вычеркнуть числа 3, 6, 9, 12,...; из оставшейся последовательности
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,... образуем новую последовательность,
как указано: 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48,...; вычеркивая числа,
кратные 3, составляем третью последовательность: 1, 8, 27, 64,...,
а это и есть последовательность кубов чисел натурального ряда: 13,
23, З3, 43,..., как и было обещано!
Игра с кубами чисел
У каждого участника игры должна быть таблица кубов. Назначаем какое-нибудь
целое число и ставим задачу: представить это число как алгебраическую
сумму, пяти кубов.
Пусть назначено, например, число 1. Рассматриваем таблицу кубов
и подбираем: 1 = 43-33-33-23-13
или 1"=63-53-43-33 +
13.
Цель игры: за отведенный промежуток времени подобрать как можно
больше решений задачи. У вас, очевидно, возникнет такой вопрос:
"Разве любое целое число может быть представлено в виде алгебраической
суммы пяти кубов натуральных чисел, да еще несколькими способами?"
Да, любое, и даже бесконечным числом способов. Это доказал польский
математик В. Серпинский.
|