Отрицание. Отношение следствия
Продолжим построение алгебры высказываний. При изучении множеств мы
наряду с операциями сложения и умножения множеств рассматривали также операцию
"взятия дополнения", сопоставляющую с каждым множеством А его дополнение
А. Этой операции отвечает чрезвычайно важная операция алгебры высказываний,
сопоставляющая с каждым высказыванием а новое высказывание а,
называемое отрицанием а. Грамматически отрицание а получается
из высказывания а при помощи частицы "не"; например, отрицанием
высказывания "он отличник" является высказывание "он не отличник" (рис.
29). Множество истинности высказывания а является дополнением множества
истинности высказывания а; это утверждение можно даже считать определением
отрицания.
Рис. 28.
Рис. 29
Алгебраические свойства дополнения множеств сразу приводят к следующим
утверждениям, связанным с отрицанием высказываний:
Введем, наконец, еще одно отношение, связывающее два высказывания. А
именно, пусть множество истинности А высказывания а уже множества
истинности В высказывания b; другими словами, пусть А
целиком содержится в В (т. е. А [ В или В ] А). В
таком случае мы будем говорить, что высказывание а влечет высказывание
b или что b следует из а (или что b является следствием а).
Например, если множество отличников класса состоит из школьников Гриши,
Илюши и Пети, то высказывание "Он отличник" влечет за собой истинность
высказывания "Он мальчик" (или высказывание "Он мальчик" следует из высказывания
"Он отличник"; см. рис. 30). Отношение следствия имеет естественно подразумеваемый
словом "следствие" смысл: если b следует из а и мы знаем, что высказывание
а истинно, то, наверное, истинно и высказывание b.
Рис. 30
Так, в разобранном выше примере истинность утверждения "Он отличник"
означает, что речь идет об одном из трех школьников - Грише, Илюше или
Пете; но тогда истинно и высказывание "Он мальчик".
Отношение следствия играет в алгебре высказываний такую же роль, какую
в алгебре множеств играет отношение с, указывающее, что одно множество
содержится в другом; иногда его обозначают тем же значком с . Однако чаще
отношение "а влечет b" (или, что то же самое, "6 следует из а")
записывается так: а=>Ь. Запись а=>b читается как "b следует
из а" или, короче, как утверждение "если а, то b". При этом
часто говорят, что а является достаточным условием для b: если
мы знаем, что высказывание а является истинным, то этого достаточно,
чтобы не сомневаться и в истинности высказывания b. Так, если в
условиях проиллюстрированного (рис. 30) примера мы знаем, что "он (какой-то
учащийся рассматриваемого класса) отличник", то этого достаточно, чтобы
утверждать, что "он мальчик". Напротив, про высказывание b, такое,
что а => b, говорят, что оно является необходимым условием для
а. Так, в рассмотренном выше примере условие "Он мальчик" является,
конечно, необходимым условием истинности высказывания "Он отличник",
ибо ни одна девочка в классе отличником не является; однако это условие
не является достаточным, поскольку наугад выбранный мальчик может и не
оказаться отличником. (Напротив, условие "Он отличник" достаточно, но не
необходимо для истинности высказывания "Он мальчик" - учащийся может и
не быть отличником, но при этом оказаться мальчиком.) В соответствии с
этой терминологией об эквивалентных высказываниях а и b
(высказываниях, для которых а<=>b) часто говорят, что каждое
из них является необходимым и достаточным условием второго.
Так, например, если в некоторой группе школьников все девочки являются
отличницами, а все мальчики не отличники, то для этой группы ребят условие
а ("Она девочка") является необходимым и достаточным для истинности
высказывания b ("Он (школьник) - отличник"): здесь и а =>
b и b=>а. Из известных свойств алгебры множеств, связанных соотношением
=> , следует, что:
|