Фундамент алгебры
Из всех сделанных высказываний школьнику Васе Игнатьеву, который был
корреспондентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым
правильным показалось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра - искусство
буквенных вычислений.
Вася учился тогда в VI классе и на уроках алгебры много занимался буквенными
вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты,
и показатели степени, и многое другое -от букв в глазах рябило. Он часто
думал: "Хорошо было бы иметь решения ко всем примерам нашего задачника!"
Но вскоре понял, что это не поможет, -учитель для контрольных работ брал
примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех задач
из всех задачников на свете - это, пожалуй, никому не под силу, разве что
фокусникам из цирка, выступающим с сеансами феноменальной памяти.
Делать нечего, приходилось заучивать правила: что происходит с коэффициентами
и показателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность
в квадрат и многое другое.
Вася был мальчик любознательный и захотел узнать, откуда же эти правила
берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым
выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных
правил. Эти первоначальные правила таковы :
(коммутативность сложения);
(ассоциативность сложения);
(коммутативность умножения);
(ассоциативность умножения);
(дистрибутивность). Из этих правил можно вывести все остальные, например
формулу
обсуждавшуюся на необычной конференции. (Попробуйте это сделать!)
Таким образом, искусство буквенных вычислений сводится к применению
основных правил. При этом некоторые следствия из этих правил (например,
формула квадрата суммы) применяются настолько часто, что их надо так же
хорошо запомнить и применять, как и первоначальные правила.
Не правда ли, это очень напоминает положение дел в геометрии - там тоже
есть несколько аксиом (т. е. первоначальных положений), из которых выводятся
различные следствия, называемые теоремами. А при решении задач приходится
применять и аксиомы и теоремы. Поэтому мы будем, как и в геометрии, формулы
(1) называть аксиомами, а формулы вида (2) - теоремами.
Как и аксиомы геометрии, аксиомы алгебры не доказываются. Они являются
обобщением многотысячелетнего опыта практической деятельности человечества.
Прежде чем сформулировать положение a + b = b + a, надо было много
тысяч раз подметить такие арифметические соотношения, как: 2 + 5 = 5 +
2, 4 + 6 = 6 + 4 и т. д.
Все остальные аксиомы (1) имеют такое же происхождение: они являются
буквенной записью многократно проверявшихся законов арифметики.
|