Чем занимается алгебра. Числа и действия.

Кольца

Теперь ясно, когда верна формула

да и все остальные формулы алгебры. Они верны для любых объектов, которые можно складывать и умножать, причем выполняются указанные выше аксиомы (1). Мы уже знаем три примера объектов, для которых эти аксиомы выполняются. Это действительные числа, комплексные числа и многочлены.

Математики знают много других примеров множеств с аналогичными свойствами:

1) элементы такого множества можно складывать и умножать, причем сумма и произведение двух элементов снова принадлежат тому же множеству;

2) среди элементов множества особо отмечены два элемента, обозначаемые символами 0 и 1;

3) для каждого элемента а определен противоположный элемент - а, принадлежащий тому же множеству ;

4) для сложения и умножения в рассматриваемом множестве выполняются все аксиомы (1).

Ввиду того что такие множества часто встречаются, для них было введено специальное название - кольцо. Кроме рассмотренных выше трех примеров можно указать следующие примеры колец: а) множество всех целых чисел (сумма и произведение целых чисел - целые числа, так же как и число, противоположное целому); б) многочлены с целыми коэффициентами ; в) числа вида а + b корень из 7 , где а и b -произвольные целые числа.

А положительные числа (относительно обычных сложения и умножения) кольца не образуют, ведь число, противоположное положительному, уже не является положительным. Позже понятие кольца было расширено. Во-первых, отказались от требования, что в кольцо входит элемент 1, для которого а * 1 = 1 * a = a. Например, все четные числа (как положительные, так и отрицательные) образуют кольцо без единицы. Нечетные же числа вообще не образуют кольца, так как сумма двух нечетных чисел четна.

Потом отказались и от требования коммутативности умножения, т. е. отбросили аксиому ab = ba (сохранив остальные аксиомы). Такие кольца стали называть некоммутативными. Примером некоммутативного кольца является кольцо всех кватернионов. Наконец, пожертвовали и аксиомой ассоциативности умножения, заменив ее другими аксиомами.

Например, стали рассматривать кольца, в которых аксиомы коммутативности и ассоциативности умножения заменяются следующими аксиомами:

Такие кольца называют алгебрами Ли (по имени норвежского математика С. Ли). Все это происходило не из любви математиков к обобщениям, а потому, что были найдены важные для практики объекты, для которых имелось естественное сложение и умножение, но умножение не было ни коммутативным, ни ассоциативным. Многие такие объекты встретились, например, в современной квантовой физике. Разумеется, вследствие введения новых аксиом пришлось заменить многие формулы алгебры новыми. Например, для алгебр Ли вместо формулы (a - b)(a+b) = a² - b²справедлива формула (a - b)(a + b) = 2ab. He правда ли, удивительно?!