Разложение чисел на множители
С разложением чисел на множители вы знакомы. Вам приходится это делать
при отыскании общего знаменателя, при сокращении дробей и т. д.
Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное
число единственным образом разлагается на простые множители. Например:
72=2*2*2*3*3; 1001=7*11*13 (разумеется, разложения, отличающиеся лишь порядком
множителей, мы считаем одинаковыми). Напомним, что простым числом называется
натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и
1). Число 1 не считается простым.
Будем теперь рассматривать не только натуральные числа, но и нуль и
отрицательные целые числа. Иными словами, возьмем множество всех целых
чисел. На первый взгляд здесь труднее определить понятие простого числа.
Ведь, например, 7 = ( - 1)*( - 7). Значит ли это, что число 7 перестает
быть простым, если его рассматривать в множестве всех целых чисел? Оказывается,
нет, надо только уточнить, что называется простым числом.
Заметим, что число - 1 обладает следующим свойством: если разделить
1 на -1, то в частном получится целое число. Другим целым числом с таким
же свойством является сама единица. Мы будем называть эти числа (1 и -
1) делителями единицы.
Назовем целое число р простым, если оно не является делителем
единицы, но в любом его разложении в произведение двух целых множителей
один из сомножителей обязательно является делителем единицы. При таком
определении число 7 остается простым и после перехода к множеству всех
целых чисел. Простым будет и число - 7.
Сохраняет свою силу и основной закон арифметики, однако тоже с небольшим
изменением формулировки: каждое целое число, отличное от нуля, разлагается
в произведение простых целых чисел; это разложение однозначно определено
с точностью до перестановок сомножителей и возможного умножения некоторых
сомножителей на - 1 (т. е. на делитель единицы). Например: 21=3*7
= 7*3=(-3)*(-7) = (-7)*( -3). Такие разложения принято считать одинаковыми.
Удивительное разложение
При решении некоторых сложных вопросов теории чисел пришлось разлагать
целые числа не только на целые множители, но и на множители вида
где а и о - целые числа. Числа такого вида сами образуют кольцо. Для
них, как и для целых чисел, можно определить понятия простого числа, делителя
единицы и т. д. Например, число
- делитель единицы, так как
Велико же было удивление математиков, когда оказалось, что в кольце
чисел
нарушается основной закон арифметики о единственности разложения на
простые множители. Например:
А вот в кольце чисел вида
(а и b - целые) имеются делители единицы кроме 1 и -1,
например:
Но разложение на множители в этом кольце однозначно (как всегда, с точностью
до перестановки множителей и умножения этих множителей на делители единицы).
В теории чисел полностью изучен вопрос, в каких кольцах чисел вида
имеет место однозначность разложения на простые множители, а в каких
нет. Мы не будем на этом останавливаться.
|