Разложение многочленов на множители и решение
уравнений
Зачем же надо разлагать многочлены на множители? Одна причина ясна -
для выполнения действий с алгебраическими дробями. Но есть и другая причина
- разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение:
Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены
в левой части, то получим:
или
А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при х1
= 2, x2 = 1, x3= -1. Значит, эти
числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у
него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь
множитель равен нулю, а множитель
х2+1 при действительных
х в нуль не обращается.
Особенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители
первой степени:
В этом случае ясно, что корнями будут числа а1, а2,
..., аn а других корней не будет (так как если х
отлично от всех чисел
а1, a2, ... а..,
то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается). Верно и
обратное: если мы знаем п
корней оц, а2. ...,
а многочлена
то он следующим образом разлагается на множители:
Из сказанного ясно, что никакое уравнение л-й степени не может иметь
больше, чем п корней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень?
Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит "любое
уравнение", Какими должны быть его коэффициенты. Неясно и то, какие корни
мы будем рассматривать.
|