Разложение на множители и решение уравнений.

Решение уравнений в радикалах

Основная теорема алгебры дает только уверенность в том, что у каждого алгебраического уравнения есть корни. (Теоремы такого типа называют в математике теоремами существования.) Однако она ничего не говорит о том, как эти корни искать. Иными словами, вопрос о том, как решить данное уравнение, остается открытым и после доказательства основной теоремы алгебры.

Издавна люди занимались решением уравнений. При этом старались выразить корни уравнения через коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корней. Это удалось сделать для квадратных уравнений, а впоследствии и для уравнений третьей и четвертой степеней.

Многие годы усилия математиков были направлены на то, чтобы найти решение в радикалах (т. е. с помощью этих же пяти действий) для любого уравнения пятой степени. Все эти попытки к успеху не привели. Долгое время думали, что дело в недостаточной изобретательности математиков и что когда-нибудь придет математический гений, который решит задачу.

Алгебра правды и лжи

Всем, кто впоследствии пожелает изучить правила алгебры логики, .имеет смысл предварительно попрактиковаться в применении своеобразных математических приемов выявления истины из поступившей информации, содержащей в себе и правду и ложь. Пусть полученная информация состоит из нескольких сообщений, причем заранее известно, что правдиво только какое-то одно. Сейчас несущественно - часто или редко встречается такая ситуация.

Условимся, что эквивалентом всякого верного утверждения будет число 1, а всякого ложного - число 0. Тоща полученные сведения можно определенным образом закодировать (зашифровать) символами и составить из этих символов и чисел 0 и 1 некоторые алгебраические выражения и равенства. При этом каждое утверждение молено представить в двух видах: как произведение и как сумму.

Пусть буквами А и В обозначены два верных утверждения, т. е. каждая буква имеет значение 1; тогда произведение АВ-1; но если А или В ложно, т. е. имеет значение 0, то А*В=0. Сумму двух верных утверждений (т. е. двух единиц) следует считать равной 1, А+B = l, так как в нашей алгебре нет чисел, превышающих единицу; в самом деле, (ведь ничто не может быть более правильным, чем "верно". Однажды произошел такой разговор.

Мама. Вчера мне сказали, что Саша, сын Николая Ивановича, уже окончил институт, а ему еще только двадцать один год.

Папа. Ты что-то напутала, дорогая. Сына Николая Ивановича зовут Костя, и ему еще только недавно исполнилось восемнадцать.

Дочь. Я не знаю семью Николая Ивановича, но помню, подруга утверждала, что его сыну 25 лет, и при этом называла она его другим именем, не Сашей.

При помощи вычислений определите имя и возраст сына Николая Ивановича, полагая, что в каждой из полученных информации содержатся верные сведения либо только о возрасте, либо только об имени.

Гений действительно пришел, им был молодой норвежский математик Н. Абель. Однако вместо желанной формулы он дал отрицательный ответ - решения задачи не существует. Впрочем, сначала Абель ошибся (и гении делают ошибки!). Ему показалось, что он нашел формулу, дающую решение уравнения пятой степени в радикалах. Но потом он увидел ошибку, проанализировал свои рассуждения и в результате получил замечательный вывод: не только неверна выведенная им формула, но и вообще не существует, общей формулы, выражающей корни любого уравнения пятой степени через коэффициенты этого уравнения с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.