Умножение геометрических преобразований
О том, что такое геометрические преобразования и как они применяются
для решения задач, было подробно рассказано в статье "Геометрические преобразования".
На первый взгляд может показаться, что эта область математики относится
целиком к геометрии, а алгебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается,
геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает
свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.
Как же умножить геометрическое преобразование а на геометрическое преобразование
р? А очень просто - сначала сделать преобразование а, а потом р. В результате
получится новое преобразование. Его называют произведением преобразований
а
и бета и обозначают а*бета. Пусть, например, a - поворот
плоскости вокруг точки О на 30°, а бета - поворот вокруг той же
точки на 45°. Сделав эти повороты один за другим, получим поворот плоскости
вокруг точки О на 75° (рис. 2). Этот поворот и является произведением
поворотов а и бета.
Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел.
Например, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:
Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что
для любого преобразования а верна формула a * е=е • a=a. Им является
тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте.
Ясно, что если сначала сделать преобразование е, т. е. оставить
все неизменным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать
только преобразование а. Поэтому е • a = а. Точно так же
доказывается, что a * e = a.
- А нужно ли доказывать последнее равенство? - спросит читатель. - Ведь
уже доказано, что е * a = а, а от перестановки сомножителей произведение
не меняется.
Вспомните, однако, что при умножении кватернионов переставлять сомножители
нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преобразований.
Вот простой пример.
Пусть a - сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, а р -поворот на 90°
вокруг точки О. При преобразовании а начало координат перейдет в точку
А
(6; 0). При преобразовании р (т. е. при повороте на 90°) точка
А
перейдет в точку В (0; 6). Таким образом, преобразование a *
бета переводит точку О в точку В (рис. 3).
Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При повороте
а точка О останется на месте. При сдвиге же бета точка О перейдет
в точку А. Значит, бета * а переводит О в точку А,
а
не в точку бета. Мы видим, что
Итак, умножение преобразований не обладает свойством коммутативности.
Выполнение равенства а * бета = бета * а является для преобразований
не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: ае
= еа.
Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга.
Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, например:
И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование.
Это
преобразование определяют следующим образом.
Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное
ему преобразование а-1 переводит Q обратно в точку Р. Например,
если a -сдвиг вправо на отрезок а, то а-1 - сдвиг влево на тот
же отрезок а.
Ясно, что если сначала сделать преобразование а, то в результате
все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразование.
Поэтому а * а-1==е.
Теперь ясно, как можно делить преобразования. Только, в отличие от чисел,
для преобразований есть два вида деления - слева и справа.
|