Абстрактная теория групп
Рассмотрим следующие две группы преобразований. Первой из них является
группа симметрии ромба, второй - группа перемен знаков переменных
х я у. Обозначим тождественное преобразование ромба через
е, симметрии относительно диагоналей - через а и b
и центральную симметрию - через с. Проверьте, что "таблица
умножения" в этой группе имеет следующий вид:
|
е |
а |
b |
с |
е |
е |
а |
b |
с |
а |
а |
е |
с |
b |
b |
b |
с |
е |
а |
с |
с |
b |
а |
е |
Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных к и
у. Здесь мы также обозначим тождественное ] реобразование
х -> x, у -> у через е. Изменение знака у одного
только х (т. е. преобразование х -> -х, у -> у)
обозначим через а, а изменение знака у одного только
у - через b. Наконец, преобразование х -> -x, у
-> - у (изменение знаков у обоих переменных) обозначим через
с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе
преобразований "таблица умножения" имеет вид:
|
е |
а |
b |
с |
е |
е |
а |
b |
с |
а |
а |
е |
с |
b |
b |
b |
с |
е |
а |
с |
с |
b |
а |
е |
Сразу бросается в глаза, что написанные "таблицы умножения" совершенно
одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут оказаться
совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов
и одинаковую "таблицу умножения". Для решения многих вопросов, относящихся
к группам преобразований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется,
а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе
и как они перемножаются.
Евграф Степанович Федоров.
Изучением групп с этой точки зрения занимается так называемая абстрактная
теория групп. В этой теории рассматривают множества G, состоящие
из каких угодно элементов (не обязательно преобразований), для которых
определено каким-то образом умножение, обладающее следующими свойствами:
1. Произведение а b двух элементов из G принадлежит
G.
2. Существует элемент е (единичный), обладающий тем свойством,
что для всех элементов а из G выполняется равенство ае = еа =
а.
3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-,
т. е. такой, что аа-1=а-1 а=е.
4. Для любых трех элементов а, b, с выполнено равенство a(bc)
= (ab)c.
Заметим, что последнее равенство, выражающее ассоциативность умножения,
всегда выполняется для преобразований. Множество G с указанными
свойствами называется группой. Первая в России книга по теории
групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.
Отто Юльевич Шмидт.
Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и
понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических
преобразований, и к группам алгебраических преобразований, и к изучению
атомов и кристаллов и т. п.
|