Заключение
Мы рассмотрели различные вопросы, изучаемые в алгебре. Все эти вопросы
объединяются одним общим направлением - изучением общих свойств действий
и преобразований. Алгебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы
действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно
различными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим
получаются группы, кольца, поля и т. п.
В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные
совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгебры, полугруппы и
т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в
выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий.
Как правило, интересные алгебраические объекты получаются не таким путем.
Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии,
физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих
задач исследователь, отбрасывая второстепенное и несущественное, выделяет
важное и основное и формулирует общие свойства различных объектов в виде
аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхождение
(хотя это и не всегда может быть непосредственно замечено).
|