Теоремы сложения и умножения вероятностей
Прежде всего рассмотрим две важные формулы, которые лежат в основе действий
с вероятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения
вероятностей.
Пусть два события А я В таковы, что при каждом испытании может
появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появиться они не
могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения
утверждает, что если А я В несовместны, то P {A или В} =Р{А}+Р{В}.
Представим теперь себе, что события А я В таковы, что наступление
одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Такие события
называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема
умножения, состоящая в следующем: Р{А и В} = Р{А}*Р{В}.
Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время
приходится часто встречаться при организации производства. Ремонтный рабочий
обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может
выйти из нормального рабочего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность
выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р.
Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из
рабочего режима выйдет не более двух механизмов?
Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет
из нормального рабочего состояния, равна 1-р. По теореме
умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают благополучно,
равна (1- р)6. Вероятность того, что определенный механизм
выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать
хорошо, равна по теореме умножения р(1 - р)5. Механизмом, потребовавшим
внимания, может оказаться любой из шести, поэтому вероятность того, что
из строя выйдет только один механизм (безразлично какой), равна по теореме
сложения 6р(1-р)5.
Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из
рабочего состояния, а остальные четыре будут работать нормально. С этой
целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух
определенных механизмов и нормальной работы остальных четырех равна р2(1
- р)4. Но два механизма из шести можно выбрать С62
= 15 различными способами. Для каждого из них вероятность уже вычислена.
В результате по теореме сложения искомая вероятность равна 15р2(1-р)4.
Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния
не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми
способами: все механизмы будут работать безотказно, откажет лишь один механизм,
откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения
равна:
Если, для примера, вероятность выхода механизма из нормального рабочего
состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указанный срок: все механизмы
будут работать нормально, равна 0,262144; только один механизм выйдет из
строя, равна 0,393216; только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760.
Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна
0,90112.
|