Теория игр

Парная игра с нулевой суммой. Цена игры

Если в конфликте участвуют две стороны, игра называется парной, если несколько - множественной. Парные игры проще множественных и имеют большее практическое значение. Мы ограничимся только парными играми. Заметим, что игра между двумя командами игроков, преследующими противоположные цели, равносильна парной игре.

Каждую парную игру будем рассматривать как конфликт между двумя игроками: К ("красные") и С ("синие"). Для удобства рассуждений, чтобы иметь какую-то определенную точку зрения, будем обычно становиться на сторону одного из игроков (пусть это будет К) и говорить о нем "мы", а о другом - "противник". Это не означает, что сторона К, будет иметь какое-нибудь реальное преимущество. Просто нам так будет удобнее.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигрышей К. и С равна нулю. В жизни часто встречаются конфликты, в которых это условие не соблюдается. Например, в военном столкновении вполне возможно, что проигрывают обе стороны. Однако во многих случаях можно, не слишком искажая сущность явления, рассматривать парные конфликты как игры с нулевой суммой.

Итак, допустим, что интересы К. и С строго противоположны и сумма выигрышей равна нулю. Это будет для нас очень удобно в вычислительном смысле. Еще бы! Ведь если выигрыш К, равен по величине и противоположен по знаку выигрышу С, то можно рассматривать выигрыш только одного из игроков: выигрыш другого определится автоматически.

Давайте выберем в качестве "выигрывающего" игрока К,. Игрок К, заинтересован в том, чтобы обратить свой выигрыш (обозначим его k) в максимум (сделать его наибольшим). Игрок С, наоборот, заинтересован в том, чтобы обратить его в минимум (сделать наименьшим). Каждый из игроков К и С, пре-

следуя свою цель, принимает все меры к тому, чтобы ему было лучше, а сопернику хуже.

В результате борьбы интересов, если оба противника одинаково разумны, по-видимому, должно быть найдено некоторое равновесное положение, при котором каждый игрок получит то, что ему причитается, - не больше и не меньше. Этот равновесный средний выигрыш, на который вправе рассчитывать игрок К, если обе стороны будут вести себя разумно, т. е. придерживаться своих оптимальных (наилучших) стратегий, называется ценой игры.

Если цена игры равна нулю, - значит, это справедливая игра, т. е. она в одинаковой мере выгодна или невыгодна той и другой стороне. Если цена игры положительна, - значит, игра выгодна для К. Если отрицательна, придется признать, что она выгодна для С...

Решить игру - это значит найти пару оптимальных стратегий (для К. и С) и цену игры, т. е. средний выигрыш игрока К, если оба - и К, и С - будут вести себя разумно.

А если разумно будет вести себя только К, а не С? Ну что же - тем хуже для С! Выигрыш К от этого уменьшиться не может. В худшем случае он останется таким же, а в лучшем - увеличится.