Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

 (0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

 (0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 (0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x3+a1x2y+b1xy2+g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 (1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где Fk(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)ºx3+a1x2y+b1xy2+g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a1xy+b1y2+2a2x+b2y+b3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(a1x2+

2b1xy+3g1y2+b2x+2g2y+g3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+a1x2y+b1xy2+ (1.5)

g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a1+a1a2-f=0, (1.61)

(2a1+2b2-f)a1+2a2b1-g+6b1=0, (1.62)

2a1c1+(2b1+2c2-g)b1+(6b2-f)g1=0, (1.63)

(4b1+c2-g)a1+(a1+4b2-f)b1+3a2g1+3c1=0, (1.64)

c1b1+(3c2-g)g1=0; (1.65)

ca1+(2a1-f)a2+a2b2-k+3a=0, (1.71)

(2a+d-k)a1+2cb1+(4b1-g)a2+(a1+2b2-f)b2+2a2g2+3b=0, (1.72)

2ba1+(a+2d-k)b1+3cg1+2c1a2+(2b1+c2-g)b2+(4b2-f)g2=0, (1.73)

bb1+(3d-k)g1+c1b2+(2c2-g)g2=0; (1.74)

(2a-k)a2+cb2+(a1-f)b3+a2g3=0, (1.81)

2ba2+(a+d-k)b2+2cg2+(2b1-g)b3+(2b2-f)g3=0, (1.82)

bb2+(2d-k)g2+c1b3+(c2-g)g3=0; (1.83)

(a-k)b3+cg3-df=0, (1.91)

bb3+(d-k)g3-dg=0, (1.92)

dk=0. (1.93)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2=c1=0, а коэффициенты a1, b1, g1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.61) – (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:

3a1-f=0, (1.101)

g+6b1=0; (1.102)

(2a1-f)a2+3a=0, (1.111)

(4b1-g)a2+(a1+2b2-f)b2+3b=0, (1.112)

(2b1+c2-g)b2+(4b2-f)g2=0, (1.113)

(2c2-g)g2=0; (1.114)

2aa2+cb2+(a1-f)b3=0, (1.121)

2ba2+(a+d)b2+2cg2+(2b1-g)b3+(2b2-f)g3=0, (1.122)

bb2+2dg2+(c2-g)g3=0; (1.123)

ab3+cg3-df=0, (1.131)

bb3+dg3-dg=0. (1.132)

Из условий (1.101) и (1.102) получаем, что

f = 2a1, g = 6b1.

Из условия (1.114) имеем

(2c2-g)g2=0.

Пусть g2, тогда

2c2-g=0 и g=2c2,

с другой стороны g = 6b1, значит

c2=3b1.

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) – (1.113), (1.121), (1.123) и (1.131) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a2 =  , b2 = ,

g2 =  , b3 =  ,

g3 =  ,(1.15)

d = .

Равенства (1.122) и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:

(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, (1.16)

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a2=c1=0, c2=3b1. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a1-a)m= 0, (1.211)

(2b1-b)m+(2b2-a)n=0, (1.212)

(3b1-b)n=0; (1.213)

(a-g)m+cn-pa=0, (1.221)

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222)

pg= 0. (1.223)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223) получаем, что g=0.

Условия (1.221), (1.222) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.231)

bm+dn-bp= 0. (1.232)

Из условий (1.211) и (1.213) имеем:

(a1-a)m= 0,

(3b1-b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a1-a=0 и

a=a1, (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b1-b=0 и

b=3b1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.231) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)

Из равенства (1.232), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1=a2= 0, c2= 3b1.

 

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0,

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0,

[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0.

Причем b1¹0, a1¹0, 2b1a-ba1¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a1=, b1=1, b2=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a2+d2+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a1=, b1=1, a2=0, c1=0, b2=0, c2=3b1=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a2=12a, b2= -a,

g2=a, b3=a2,

g3= -a2,d=a3, (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

 (2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x3+12ax2-axy+ay2+a2x-a2y+a3=0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y0=0, y1=a, y2=a, y3=a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x0=0, x1= -a, x2= -a, x3= -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1.     Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

 (2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка  - седло.

2.     Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка  - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.

3.     Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

 

, .

Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

4.     Исследуем точку  .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

 

,

Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут

 ,

Корни  - действительные и одного знака.Следовательно точка  - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

 

 

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

 (2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

 (2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

 (2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

 

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,).

Исследуем характер точек N1, N2.

1. Исследуем точку N1(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:

 (2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

 

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N2(0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

 

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

 (2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

 (2.15)

При z=0, получаем:

 (2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

 

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

a	О	А	В	С	∞
					N1	N2	N3
(-∞;0)	с	У+	с	У-	У+	с	У+
(0;+∞)	с	У-	с	У+	У+	с	У+

Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а) (a>0)

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1, w - сепаратрисы – к точке С и N3.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1       Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2       Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3       Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4       Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5       Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6       Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7       Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8       Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9       Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10  Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения  , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11  Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а>0)

б) (а<0)

                                                                                   Рис. 2