Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения 4
Глава 1. Делимость в мультипликативных
полугруппах_ 7
§1. Свойства НОД
и НОК_ 7
§ 2. Строение
числовых НОД и НОК полугрупп_ 11
Глава 2. Мультипликативные полугруппы
неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический список 19
Введение
В математических
исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых
примеров и как множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в данной
работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное
легко интерпретируемое подмножество R.
Как известно, различные подалгебры
множества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе
мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных
действительных чисел с 0 и 1.
Работа состоит из двух глав.
Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе
говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая
классификация мультипликативных полугрупп SR+, обладающих одним из введенных
специфических свойств:
(*) (a<b);
(**) (0<a<b).
Основные понятия и определения
Определение 1. Пусть Х – множество
произвольной природы и t –
семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее
условиям:
1) пересечение конечного числа множеств
из t принадлежит t,
2) объединение любого множества множеств
из t принадлежит t,
3) и ÆÎt.
Тогда называется топологическим
пространством, t – топологией
на Х.
Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х
называются замкнутыми множествами.
Определение 3. Пусть –
топологическое пространство и . Введем
на множестве Х1 топологию t1.
Открытыми в пространстве назовем
все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х.
Тогда пространство называется подпространством
топологического пространства , а
топология t1 – топологией, индуцированной
топологией t на множество Х1.
Определение 4. Семейство открытых множеств в
топологическом пространстве называется
базой топологии t,
если любое открытое множество в Х является объединением множеств из
этого семейства.
Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой)
топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов,
они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию,
в которой открытым множеством будет, например, R+Ç (-1, 1).
Определение 5. Пространство Х1 называется
плотным подпространством пространства Х, если любое непустое
открытое множество в Х содержит точки множества Х1.
Очевидно, Х1
плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1
является предельной точкой множества Х.
Определение 6. Множества в топологическом
пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Определение 7. Топологическое пространство Х называется
связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х
и Æ.
Определение 8. Множество Х1 в
топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно
как топологическое подпространство пространства Х.
Примеры:
1. Множество точек плоскости является
связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.
2. На числовой прямой связными
множествами являются лишь промежутки.
Определение 9. Топологическое пространство
называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Пример. Дискретное топологическое
пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.
Далее везде будем
обозначать символом S
мультипликативную полугруппу.
Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной
полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .
Определение 11. Элемент bS называется делителем элемента
аS, если для
некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит (|).
Определение 12. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их
общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД.
Определение 13. Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.
Определение 14. Общее кратное элементов и , на которое делится любое
их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК.
Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой
(НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель
(наименьшие общее кратное).
Определение 16. Элемент из
S называется неприводимым, если
он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы
в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .
Определение 17. Элемент из
S называется простым, если . Очевидно, простые
элементы неприводимы.
Определение 18. Полугруппа S называется топологической
полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.
1)
áS, ×ñ– полугруппа;
2)
S – топологическое пространство;
3)
полугрупповая
операция × непрерывна
в S:
.
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах
§1. Свойства НОД и
НОК
Пусть S – коммутативная мультипликативная
несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы
называются целыми, или коническими.
Элементы и из S называются взаимно простыми,
если НОД(,)=1.
Предварительно рассмотрим
простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Свойства
делимости в целых полугруппах
(1) ;
(2) – рефлексивность;
(3) – антисимметричность;
(4) – транзитивность;
(5) ;
(6) ;
(7) Любой простой
элемент неприводим;
(8) р неприводим Û ;
Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов
определены однозначно, если существуют.
Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух
элементов а и b из
S. Пусть (a,b) и (a,b). Тогда из определения НОД следует и . По свойству
антисимметричности имеем .
Свойство 2. .
Доказательство. Импликации и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель
с элементов а и b.
Для него существуют такой элемент , что и
. Таким образом, с
делит b. Это и означает, что . Аналогично
доказывается .
Следствие 1. .
Следствие 2. и .
Свойство 3. и
.
Доказательство следует из коммутативности операции
умножения и свойств делимости.
Свойство 4. .
Доказательство. Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b) и c, то d1 – общий
делитель и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех
элементов является общим делителем для НОД(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят друг
друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d1=d2.
Свойство 5. .
Доказательство. Обозначим k1=НОК(НОК(a,b),c). Так как k1 является общим кратным элементов НОК(a,b) и c, то k1 – общее
кратное и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех
элементов является общим кратным для НОК(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент k2=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k1 и k2 делят друг друга. По свойству антисимметричности
делимости получаем k1=k2.
Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.
Доказательство. По условию НОД(a,b)=d¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.
Свойство 7. =.
Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сd делит любой общий делитель элементов ас
и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 8. Если ,
то .
Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов
а и b и .
Тогда по свойству (6) делимости элемент делит
любой общий делитель элементов ,
следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 9. Если и
, то .
Доказательство. Пусть НОД и НОД(а,b) = 1, тогда среди
делителей элементов b
и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей
элемента bc нет делителей элемента а, что
и означает, что .
Свойство 10. Если ,
то для любых N.
Доказательство. Докажем, что методом математической
индукции. Пусть m = 1,
тогда по условию, т.е. база
индукции верна. Предположим, что для
всех k < m. Покажем, что при k = m. по
свойству (10) для с = b. Отсюда, для всех N. по
свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N. Следовательно, .
Свойство 11. Если ,
то для любого .
Доказательство. Пусть ,
тогда а = sd и c = td для некоторых s,tS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1.
Следовательно, . Свойство
доказано.
Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.
Доказательство. Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо.
Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий
делитель элементов и . Пусть - произвольный общий
делитель чисел и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД().
Предложение 1. Полугруппа является НОК-полугруппой
тогда и только тогда, когда есть
НОД-полугруппа.
Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать,
что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа.
Возьмем произвольные . Если хотя бы
одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным
элементов и . Осталось показать, что на
делится любое общее
кратное и . Возьмем произвольное
общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. .
Далее будем рассматривать
множество всех неотрицательных действительных чисел R+ и мультипликативную полугруппу SR+, содержащую 0 и 1, с топологией,
индуцированной топологией числовой прямой.
Лемма 1. Если S связно, то S= или
S=R+.
Доказательство. Пусть S связное множество в R+. Тогда S является промежутком. Поскольку и , то . Если в S нет элемента c > 1, то . В противном случае числа (N) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N. Отсюда R+.
Лемма 2. Если несвязно,
то .
Доказательство. Предположим, что . Тогда в силу
несвязности существуют такие числа , что и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие
завершает доказательство.
Лемма 3. Если , то или =R+.
Доказательство. Очевидно, -
полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:
1)
(0,с)S для любого ,
2)
если , то и для любого .
Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет
элементов из S, то
заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ. Предположим, что (0,c)S для некоторого . Не теряя общности,
будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент и положим b=asS. Пусть d=НОД(a,b). Поскольку 0<s<1, то sn0 при n. Тогда sN < c для некоторого натурального N, и, значит, sNS. По свойству 8, пункт (3), НОД(a/d, b/d)=1. Поскольку b/d:a/d=sS, то элемент a/d необратим в S. Очевидно, необратимым является и (a/d)N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a/d)N, (b/d)N)=1. Из (b/d)N:((a/d)N=sNS следует, что НОД((a/d)N, (b/d)N)=(a/d)N. Значит, элемент (a/d)N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие.
Следовательно, (0, с)S для любого .
2) Если , то заключение
справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3
существует s. Предположим, что для некоторого с
>1. Возьмем в S элемент и положим b=asS. Поскольку s>1, то sn+¥ при n. Следовательно, sN>c для некоторого натурального N, и, значит, sNS. Повторяя рассуждения, проведенные
выше, заключаем: для
любого .
Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно.
Доказательство. Докажем, что при выполненных
условиях в любом интервале , где , есть точки, не
принадлежащие S. Доказывая
от противного, предположим, что [a,b]S для некоторых . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть 0<a<.
Докажем, что найдется n0N, для которого ab. В самом деле, допуская, что b<a для всех nN и, переходя в неравенстве b<a к пределу при n, получили бы ba<b. Откуда b>a для всех натуральных n>n0. Тогда что
невозможно по лемме 4.
Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c<b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем cb для некоторого n0N. Тогда что также невозможно по
лемме 4.
Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и .
Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что .
Поскольку топология в S
индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a и b , что .
Если , то это и есть
открыто-замкнутое множество U.
Пусть левее s в интервале нет точек множества S, а правее – есть, и точка с -
одна из них. По доказанному выше существует точка ,
такая, что . В этом случае – искомое
открыто-замкнутое множество U.
Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда
интервал содержит точки из S и справа и слева от s. Предложение доказано.
С помощью предложения 2 можно
получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.
Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих
классов:
1.
S
связно.
2.
S нульмерно, замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для
S.
3.
S нульмерно, не замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для
S.
4.
Точка 0 изолирована в S.
Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными
множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если
существует элемент , то для любого N и последовательность сходится
к 0. Следовательно, 0 – предельная точка для S, множество при
этом может быть как замкнутым в R+, так и не замкнутым. Предложение доказано.
Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных
чисел
со
свойствами (*) и (**)
В этой главе на основе
предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих
свойств:
(*) (a<b);
(**) (0<a<b).
Лемма 8. Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из
свойств (*), (**) является
НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b} для любых a,bS, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b},
НОК(a,b)= max{a,b}, если числа и не равны нулю.
Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что
любые два элемента имеют НОД и НОК.
По свойству (*) a = и S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2
делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}.
Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых
ненулевых элементов и НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.
Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (*) существует элемент c > 1, то S \ {0} – группа.
Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого nN. Тогда 1 / acn S в силу свойства (*). Откуда
1 / a = (1 / acn) cn S.
Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (*) относится к одному из
следующих классов:
1.
S = [0,1].
2.
S = R+.
3.
S = n = 0,1,2,…, где 0 < .
4.
S = nZ, где 0 < .
5.
S – нульмерное плотное подпространство
в [0,1].
6.
S – нульмерное плотное подпространство в R+.
7.
S = {0,1}.
Доказательство. Если связно,
S= или S=R+ по лемме 1.
Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R+). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому .
Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (еn), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие
элементы c < d, что (c,d) = по лемме 4. В то же время строго
возрастающая последовательность (en,d)
элементов из S сходится к
числу d. Противоречие. Следовательно, 1
является изолированной точкой в S.
Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный
ненулевой элемент из . Для него при некотором N. По свойству (*) получаем и
. Поскольку , то .
Тогда в случае S имеем 0,1,2,…, а в противном случае Z по лемме 9.
Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует
монотонная последовательность чисел 0аnS, сходящаяся к некоторому аS. Пусть bn = an / an+1, если (an) возрастает, и bn = an+1 / an, если она убывает. Тогда bnS (N) и bn1 при .
Возьмем произвольное число с(0,1).
Для каждого N найдется такое k(n)N, что . Тогда
имеем и .
Следовательно, числа N из образуют
плотное подмножество в [0,1]. Если S, то получаем случай 5. Если же S, то по лемме 9 получаем случай 6.
Предложение доказано.
Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из
следующих классов:
1.
S = R+.
2.
S = rn , где .
3.
S = nZ, где .
4.
S\{0} – нульмерное плотное
подпространство в [1,).
5.
S – нульмерное плотное подпространство в R+.
6.
S = {0,1}.
7.
È[1,+¥).
Доказательство. Пусть связно.
Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R+.
Очевидно, является полугруппой со
свойством (**).
Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.
Пусть замкнуто и Æ. Если в нет
элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так.
Тогда в существует строго
убывающая последовательность,
сходящаяся к 1. Так как замкнуто
и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго
убывающая последовательность элементов
из сходится к числу , следовательно, ее члены,
начиная с некоторого номера, попадают в интервал .
Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный
элемент из . Для него при некотором N. По свойству (**) получаем и . Поскольку , то .
В этом случае N.
Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 –
изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует,
что . Из неравенства по доказанному выше
получаем: для некоторого
натурального N. Поскольку , то .
В этом случае Z.
Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная
последовательность чисел ,
сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность
элементов убывает, и , если она возрастает.
Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное
число . Для каждого N найдется такое N, что .
Тогда имеем и .
Следовательно, числа N из образуют
плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).
Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения
показывают, что S – плотное подпространство в R+.
Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к
одному из следующих классов:
1.
S = R+.
2.
S – нульмерное плотное подпространство в R+.
3.
S = {0,1}.
Библиографический список
1.
Варанкина, В.И.,
Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции
[Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов,
И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998.
Т. 4. № 2. С 493-510.
2.
Курош, А.Г.
Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.