Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца
Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца
Федеральное агентство по образованию
Государственное
образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный
гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная
квалификационная работа
Положительные и ограниченные
полукольца
Выполнил:
студент V курса
математического факультета
Ворожцов Вячеслав
Андреевич _____
Научный руководитель:
кандидат
физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В.
Чермных ________
Рецензент:
доктор
физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
_______
Допущена к защите в государственной
аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав.
кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан
факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец
............................................. 4
1.1. Определение
полукольца. Примеры.................................................. 4
1.2. Дистрибутивные
решетки.................................................................... 5
1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6
Глава 2 Положительные и ограниченные
полукольца.................................. 7
2.1. Определение и
примеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные свойства
положительных и ограниченных полуколец..... 7
Библиографический список........................................................................... 16
Введение
Теория полуколец – это
раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные
решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как
самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно
теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только
теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы
является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение
основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается
автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав.
В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта
работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и
свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны
некоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теории
полуколец».
1.1. Определение
полукольца. Примеры.
Определение полукольца:
Непустое множество S с
бинарными операциями + и · называется полукольцом, если
выполняются следующие аксиомы:
1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
·
Ассоциативность: ;
·
Коммутативность: ;
·
Существование
нейтрального элемента: .
2. (S,·) – полугруппа:
·
Ассоциативность: ;
3. Умножение дистрибутивно относительно
сложения:
·
левая
дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;
·
правая дистрибутивность:
(а+в)с=ас+вс.
4. Мультипликативное свойство 0:
·
.
Эта аксиоматика появилась
в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем
существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):
Примеры полуколец:
1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными
операциями + и ·;
2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и
введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение,
максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК,
когда они определены.
Полукольцо с импликацией называется
мультипликативно (аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется
равенство , называется мультипликативно
(аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные
решетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем на
L отношение положив,
.
Отношением порядка называется рефлексивное,
транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным
множеством.
Отношение на множестве L является отношением порядка.
Пусть M – непустое подмножество частично
упорядоченного множества L .
Нижней гранью множества M называется
такой элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если
, где n – произвольная нижняя грань множества
M. Двойственным образом определяется
точная верхняя грань.
Частично упорядоченное
множество L называется решеткой, если
любые два элемента имеют точную верхнюю и
точную нижнюю грани; решетка
называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные
законы:
Кроме этого определения
существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения
+ и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными
коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
,;
Решетка называется дистрибутивной,
если для любых , ограниченной, если она имеет
0 и 1.
1.3.
Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца
S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество,
являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним
идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца
S называется собственным. Наименьший
из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным
левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS,
односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех
элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .
Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом,
если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могут
служить следующие подмножества:
1. {0} – нулевой
идеал;
2. S – идеал, совпадающий со всем
полукольцом;
3. Идеал на полукольце
: ;
4. Главный идеал
ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .
Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».
2.1.
Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S с 1 называется положительным,
если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..
Примерами положительных
полуколец служат следующие алгебраические системы:
1.
ограниченные
дистрибутивные решетки;
2.
полукольца
непрерывных R+ - значных функций;
3.
множество всех
идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если
для любого выполняется . Ограниченное
полукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных
полуколец:
1.
ограниченные
дистрибутивные решетки;
2.
множество всех
идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные
свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого
максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S
(a+b M) (a M & b M).
Доказательство:
12. Пусть для произвольных и максимального правого
идеала M. Предположим, что ,
тогда и для
некоторых и . Имеем:
.
В левой части последнего
равенства – элемент из M,
тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
21. Пусть выполнено 2 и с
– произвольный элемент из S.
Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале
полукольца S (т.к. в противном случае в силу
условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с
обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство. Пусть .
Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый ,
такой что . Тогда
,т.к..
Получили y=1 и значит .
Таким образом мы
доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно
ограниченно,
Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще
и аддитивно идемпотентно.
Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим
обе части на x и получим необходимое равенство.
III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда,
когда для любого элемента и
любого обратимого элемента элемент
обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно,
следовательно, элемент - обратим.
Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.
В левой части обратимый элемент, значит
и в правой элемент тоже обратим.
и
– обратимы, тогда их
произведение также обратимо ,
значит обратим.
IV . Для коммутативного положительного
полукольца S
равносильны следующие условия:
1. S – дистрибутивная решетка.
2.
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству 2 следует , тогда:
и .
Эти условия наряду с
ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют
дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1
– единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый
элемент u,
и
VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет
следующее утверждение:
1. a+1=1;
2.
3.
Доказательство.
. Докажем методом математической
индукции по числу n.
I.
База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
и a+1=1
Из I и II Следует .
. .
Можно выбрать из всего
количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение
будет верно.
Примером того , что условие 3 не
влечет условие 1 является полукольцо матриц .
Зафиксируем элемент , где . Для n=2
верно, но совсем
неверно.
VII. Если S – полукольцо с мультипликативным
сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства
равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать .
Имеем .
Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :
В силу аддитивной
идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом
Ньютона, подберем коэффициенты и получим:
Используя
мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность
условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и
существует такое , что для всех . Тогда:
1. для всех ;
2. - коммутативное
ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных
идемпотентов из S, а операцияопределяется так:
.
Доказательство.
1. Возьмем .
Тогда , т.к. .
Для доказательства
понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в .
I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия II и ограниченности:
.
По ИП:
Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.
Рассмотрим :
Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо (2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы
имеется член . Этот член в
сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1
останется только элемент
Аналогично с элементами
группы 2, в которой имеется элемент ,
который и останется. Получаем
2 .Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множестве I.
(1) Поскольку в качестве
аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с
нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент
Элемент X состоит из таких слагаемых, которые
получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1,
или со всеми с. Элемент имеется
в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.
С другой стороны
Таким образом, правые
части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:
с). Коммутативность:
,
1.
2.
Из 1 и 2 следует , по причине равенств
правых частей каждого, а значит следует равенство .
Коммутативность доказана. -
коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
(4)
Все аксиомы полукольца
доказаны, а значит - коммутативное полукольцо
и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо –
ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
Рассмотрим t>1
Рассмотрим t=1,
…
т.к. полукольцо
положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и
получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В положительном полукольце S справедливо
следующее тождество:
Доказательство.
Домножим на обратный к :
Получим:
Что и
требовалось доказать.
Библиографический список
1.
Чермных, В.В.
Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
2.
Вечтомов, Е.М.
Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ,
2000. – ст.5 - 30.