Доклад: Моделювання поведінки виробників та споживачів
Доклад: Моделювання поведінки виробників та споживачів
1.
МОДЕЛІ
ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ
В теорії
споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн
завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це
обмежений дохід:
max
u(x) (1.1)
px = M
де х=(х1,...,хn)′
– вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін;
n – число різноманітних товарів; u(х) – функція корисності
споживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М
– обсяг доходу споживача.
Це
задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження
безумовного екстремуму функції Лагранжа:
L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).
Необхідними
умовами локального екстремуму є:
(1.2)
(1.3)
Точка
екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiд’ємно визначеною. З
виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення
граничної корисності дорівнює відношенню цін:
Якщо
розв’язати (1.2), (1.3) відносно ,
отримаємо функцію попиту споживача:
2.
РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
Розглянемо,
як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться
ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни
попиту на товари
(2.1)
де р
– вектор-рядок цін; U – матриця Гессе; –
вектор-стовпчик попиту на товари; – множник
Лагранжа; – індекс n за
дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.
Проаналізуємо
зміст складових, що входять у рівняння (2.1).
Зміна
попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку
величину , яка компенсує споживачеві
збільшення ціни на n-й товар (благо) на .
Збільшення
ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:
(2.2)
Тобто
друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання
ціни n-го товару на компенсується
збільшенням доходу на .
Зміна
попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на ,
то відповідно змінюється попит:
(2.3)
Об’єднуючи
вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною
теорії корисності:
(2.4)
Оскільки
вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не
компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним
знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.
Ефект
доходу полягає у
змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.
Ефект
заміщення полягає
у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.
Графік
представлено на малюнку 2.1
Малюнок
2.1 - Графік
3.
МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ
Моделі
оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма
випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою).
Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиниць
продукту одного
виду, вектор-стовпчик
можливих обсягів різних видів ресурсів через х =
(х1,
..., хn)′. Тоді технологія фірми визначатиметься
її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:
Х=F(х).
Припускається,
що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її
других похідних є вiд’ємно визначеною.
Якщо –
вектор-рядок цін
ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х
вiдповiдає прибуток:
(3.1)
У
(3.1) –
вартість річного
випуску ô³рми,
або її річний
дохід, – витрати виробництва чи
вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо
не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача
знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
(3.2)
Це
задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності: Необхідними умовами
існування екстремуму є умови Куна-Таккера:
(3.3)
Якщо
в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть
вигляд:
(3.4)
тобто
в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна
дорівнювати його цiнi.
Розглянемо
задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
(3.5)
Це
задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою
невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа
і знайдемо її максимум за умови
невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови
Куна-Таккера:
(3.6)
Як
бачимо, якщо покласти , умови (3.6)
збiгаються з умовами (3.3).