Контрольная работа: Методы и модели в экономике
Контрольная работа: Методы и модели в экономике
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ
ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра
«Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по
дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант
28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н.
Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск
2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача №1
1. Составить
математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два
магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя
складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку
1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
Магазины Склады |
№1 |
№2 |
№1 |
20
руб. |
45
руб. |
№2 |
30
руб. |
20
руб. |
№3 |
40
руб. |
35
руб. |
Составить
наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических
способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные
, представляющие собой
количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку
суммарные запасы = 65 (т) и
суммарные потребности = 60
(т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей),
необходимо ввести фиктивный пункт
потребления . Тогда транспортная
матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1-
Общий вид транспортной матрицы
Пункты производства,
i |
Пункты
потребления, j |
Объем
производства |
1 |
2 |
3 |
1 |
20 |
45 |
0 |
15 |
2 |
30 |
20 |
0 |
20 |
3 |
40 |
35 |
0 |
30 |
Объем
потребления (спрос) |
25 |
35 |
5 |
65 |
Зададим
целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной
задачи.
Найдем
опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –
Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства,
i
|
Пункты
потребления, j |
Объем
производства |
1 |
2 |
3 |
1 |
20
15
|
45
-
|
0
-
|
15/0 |
2 |
30
10
|
20
10
|
0
-
|
20/10/0 |
3 |
40
-
|
35
25
|
0
5
|
30/5/0 |
Объем
потребления |
25/10/0 |
35/25/0 |
5/0 |
65 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет
вид:
(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая
функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1.
Вычисление потенциалов
|
20
15
|
45
-
|
0
-
|
u1=0
|
|
30
10
|
20
10
|
0
-
|
u2=-10
|
|
40
-
|
35
25
|
0
5
|
u3=-25
|
|
v1=20
|
v2=10
|
v3=-25
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-35 |
-25 |
u1=0
|
|
0 |
0 |
-15 |
u2=-10
|
∆1=
|
10 |
-10 |
-5 |
u3=-25
|
|
v1=20
|
v2=10
|
v3=-25
|
|
Так
как имеются >0, то
переходим к шагу 3.
Шаг 1.3.
Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31.
|
-30
10
|
+20
10
|
∆1=
|
+40
-
|
-35
25
|
Θ == 10. Составим новый план
перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1.
Вычисление потенциалов
|
20
15
|
45
-
|
0
-
|
u1=0
|
|
30
-
|
20
20
|
0
-
|
u2=-5
|
|
40
10
|
35
15
|
0
5
|
u3=-20
|
|
v1=20
|
v2=15
|
v3=-20
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-35 |
-20 |
u1=0
|
|
-5 |
0 |
-15 |
u2=-5
|
∆1=
|
0 |
0 |
0 |
u3=-20
|
|
v1=20
|
v2=15
|
v3=-20
|
|
Так как все
оценки ≤0,
следовательно, план - оптимальный.
Х оптим =
(0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).
Ответ: Х оптим
= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача
№2
2. Решить
графически задачу: найти экстремумы функции , если , .
Решить
симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим
задачу графически при
z = 3x1 – 2x2 → max
, .
Построим на
плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых
с осями координат (рис.1).
Рис.1.
Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → max
Строим вектор
из точки (0;0) в точку (3;
-2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,
через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума
целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим
задачу графически при
z = 3x1 – 2x2 → min
, .
Построим на
плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых
с осями координат (рис.2).
Рис.2.
Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → min
Строим вектор
из точки (0;0) в точку (-3;
2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,
через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума
целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а)
Функция z
= 3x1 – 2x2 → max и равна 21 в точке
(7;0).
б)
Функция z
= 3x1 – 2x2 → min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача
№3
Решить
методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .
Решение
Поскольку
суммарные запасы = 35 (ед.
груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с
открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь
следующий вид (табл.1).
Таблица 1-
Общий вид транспортной матрицы
Пункты производства,
i |
Пункты
потребления, j |
Объем
производства |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
6 |
8 |
4 |
2 |
10 |
2 |
5 |
6 |
9 |
8 |
10 |
3 |
4 |
2 |
3 |
8 |
15 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
Объем потребления
(спрос) |
5 |
8 |
15 |
20 |
48 |
Найдем
опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –
Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства,
i
|
Пункты
потребления, j |
Объем
производства |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
6
5
|
8
5
|
4
-
|
2
-
|
10/5/0 |
2 |
5
-
|
6
3
|
9
7
|
8
-
|
10/7/0 |
3 |
4
-
|
2
-
|
3
8
|
8
7
|
15/7/0 |
4 |
0
-
|
0
-
|
0
-
|
0
13
|
13/0 |
Объем
потребления |
5/0 |
8/3/0 |
15/8/0 |
20/13/0 |
48 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет
вид:
(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3;
7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целевая
функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1.
Вычисление потенциалов
|
6
5
|
8
5
|
4
-
|
2
-
|
u1=0
|
|
5
-
|
6
3
|
9
7
|
8
-
|
u2=2
|
|
4
-
|
2
-
|
3
8
|
8
7
|
u3=8
|
|
0
-
|
0
-
|
0
-
|
0
13
|
u4=16
|
|
v1=6
|
v2=8
|
v3=11
|
v4=16
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
0 |
7 |
14 |
u1=0
|
|
-1 |
0 |
0 |
6 |
u2=2
|
∆1=
|
-6 |
-2 |
0 |
0 |
u3=8
|
|
-10 |
-8 |
-5 |
0 |
u4=16
|
|
v1=6
|
v2=8
|
v3=11
|
v4=16
|
|
Так как
имеются >0, то переходим
к шагу 3.
Шаг 1.3.
Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14.
|
- 8
5
|
4
-
|
+2
-
|
|
+6
3
|
- 9
7
|
8
-
|
∆1=
|
2
-
|
+3
8
|
- 8
7
|
|
0
-
|
0
-
|
0
13
|
Θ == 5. Составим новый план
перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1.
Вычисление потенциалов
|
6
5
|
8
-
|
4
-
|
2
5
|
u1=0
|
|
5
-
|
6
8
|
9
2
|
8
-
|
u2=-12
|
|
4
-
|
2
-
|
3
13
|
8
2
|
u3=-6
|
|
0
-
|
0
-
|
0
-
|
0
13
|
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=-6
|
v3=-3
|
v4=2
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-14 |
-7 |
0 |
u1=0
|
|
13 |
0 |
0 |
6 |
u2=-12
|
∆1=
|
8 |
-2 |
0 |
0 |
u3=-6
|
|
4 |
-8 |
-5 |
0 |
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=-6
|
v3=-3
|
v4=2
|
|
Так как
имеются >0, то переходим
к шагу 3.
Шаг 1.3.
Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21.
|
-6
5
|
8
-
|
4
-
|
+2
5
|
∆1=
|
+5
-
|
6
8
|
-9
2
|
8
-
|
|
4
-
|
2
-
|
+3
13
|
-8
2
|
Θ === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1.
Вычисление потенциалов
|
6
3
|
8
-
|
4
-
|
2
7
|
u1=0
|
|
5
2
|
6
8
|
9
0
|
8
-
|
u2=1
|
|
4
-
|
2
-
|
3
15
|
8
-
|
u3=7
|
|
0
-
|
0
-
|
0
-
|
0
13
|
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=7
|
v3=10
|
v4=2
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-1 |
6 |
0 |
u1=0
|
|
0 |
0 |
0 |
-7 |
u2=1
|
∆1=
|
-5 |
-2 |
0 |
-13 |
u3=7
|
|
4 |
5 |
8 |
0 |
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=7
|
v3=10
|
v4=2
|
|
Так как имеются
>0, то переходим к шагу
3.
Шаг 3.3.
Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43.
|
-6
3
|
8
-
|
4
-
|
+2
7
|
|
+5
2
|
6
8
|
-9
0
|
8
-
|
∆1=
|
4
-
|
2
-
|
3
15
|
8
-
|
|
0
-
|
0
-
|
+0
-
|
-0
13
|
Θ == 0. Составим новый план
перевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1.
Вычисление потенциалов
|
6
3
|
8
-
|
4
-
|
2
7
|
u1=0
|
|
5
2
|
6
8
|
9
-
|
8
-
|
u2=1
|
|
4
-
|
2
-
|
3
15
|
8
-
|
u3=-1
|
|
0
-
|
0
-
|
0
0
|
0
13
|
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=7
|
v3=2
|
v4=2
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-1 |
-2 |
0 |
u1=0
|
|
0 |
0 |
-8 |
-7 |
u2=1
|
∆1=
|
3 |
6 |
0 |
-5 |
u3=-1
|
|
4 |
5 |
0 |
0 |
u4=2
|
|
v1=6
|
v2=7
|
v3=2
|
v4=2
|
|
Так как
имеются >0, то переходим
к шагу 3.
Шаг 4.3.
Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32.
|
-6
3
|
8
-
|
4
-
|
+2
7
|
|
+5
2
|
-6
8
|
-9
-
|
8
-
|
∆1=
|
4
-
|
+2
-
|
-3
15
|
8
-
|
|
0
-
|
0
-
|
+0
0
|
-0
13
|
Θ == 3. Составим новый план
перевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1.
Вычисление потенциалов
|
6
-
|
8
-
|
4
-
|
2
10
|
u1=0
|
|
5
5
|
6
5
|
9
-
|
8
-
|
u2=-5
|
|
4
-
|
2
3
|
3
12
|
8
-
|
u3=-1
|
|
0
-
|
0
-
|
0
3
|
0
10
|
u4=2
|
|
v1=0
|
v2=1
|
v3=2
|
v4=2
|
|
Система для
плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех
потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2.
Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-6 |
-7 |
-2 |
0 |
u1=0
|
|
0 |
0 |
-2 |
-1 |
u2=-5
|
∆1=
|
-3 |
0 |
0 |
-5 |
u3=-1
|
|
-2 |
-1 |
0 |
0 |
u4=2
|
|
v1=0
|
v2=1
|
v3=2
|
v4=2
|
|
Так как все
оценки ≤0,
следовательно, план - оптимальный.
Х оптим =
(0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой
функции: (ден. единиц).
Ответ: Х оптим
= (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.