Контрольная работа: Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации
Контрольная работа: Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации
МИНИСТЕРСТВО
СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия
Кафедра
«Статистика и анализ хозяйственной деятельности»
Контрольная работа
по Эконометрики
Выполнил: студент 2 курса
заочного отделения «Экономического
факультета»
по специальности «Финансы и кредит»
с сокращенным сроком обучения
Антонов Леонид Владимирович
Ульяновск, 2009
Задача
1
По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземного
и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на
душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера
(табл. 1).
Таблица 1
Район
|
Потребительские расходы в расчете на
душу населения, руб., y |
Средняя заработная плата и выплаты
социального характера, руб., x |
1 |
408 |
524 |
2 |
249 |
371 |
3 |
253 |
453 |
4 |
580 |
1006 |
5 |
651 |
997 |
6 |
322 |
486 |
7 |
899 |
1989 |
8 |
330 |
595 |
9 |
446 |
1550 |
10 |
642 |
937 |
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу
о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной
регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей
корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности
сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации
качество уравнений.
6. Оцените с помощью F-
критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного
моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном
пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное
значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите
доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в
аналитической записке.
Решение:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу
о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной
регрессии.
|
y
|
x
|
yx
|
x2
|
y2
|
ŷx
|
y-ŷx
|
Ai
|
1
|
408 |
524 |
213792 |
274576 |
166464 |
356,96 |
51,04 |
12,5 |
2
|
249 |
371 |
92379 |
137641 |
62001 |
306,47 |
-57,47 |
23,1 |
3
|
253 |
453 |
114609 |
205209 |
64009 |
333,53 |
-80,53 |
31,8 |
4
|
580 |
1006 |
583480 |
1012036 |
336400 |
516,02 |
63,98 |
11,0 |
5
|
651 |
997 |
649047 |
994009 |
423801 |
513,05 |
137,95 |
21,2 |
6
|
322 |
486 |
156492 |
236196 |
103684 |
344,42 |
-22,42 |
7,0 |
7
|
899 |
1989 |
1788111 |
3956121 |
808201 |
840,41 |
58,59 |
6,5 |
8
|
330 |
595 |
196350 |
354025 |
108900 |
380,39 |
-50,39 |
15,3 |
9
|
446 |
1550 |
691300 |
2402500 |
198916 |
695,54 |
-249,54 |
56,0 |
10
|
642 |
937 |
601554 |
877969 |
412164 |
493,25 |
148,75 |
23,2 |
итого
|
4780 |
8908 |
5087114 |
10450282 |
2684540 |
4780,04 |
-0,04 |
207,5 |
среднее значение
|
478 |
890,8 |
508711,4 |
1045028,20 |
268454 |
x
|
x
|
20,7 |
σ
|
199,92 |
501,50 |
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
σ2
|
39970,00 |
251503,56 |
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
;
.
Получено уравнение
регрессии: .
С увеличением средняя заработная плата и выплаты
социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу
населения возрастает в среднем на 0,33 руб.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей
корреляции и детерминации.
Тесноту
связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:
.
Коэффициент
детерминации
Это
означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется
вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности
сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
Коэффициент
эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат,
если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности
имеет вид:
.
Таким образом, изменение средней заработной платы и
выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских
расходов в расчете на душу населения на 0,615 %.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации
качество уравнений.
Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки
аппроксимации:
= 20,7%
Качество построенной модели оценивается как плохое,
так как превышает 8 – 10 %.
6. Оцените с помощью F-
критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного
моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном
пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Оценим
качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия
Фишера. Сосчитаем фактическое значение -
критерия:
.
Табличное
значение (k1=1,
k2=8
) Fтабл.=5,32.
Так как , то признается
статистическая значимость уравнения в целом.
Для
оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции
рассчитаем - критерий Стьюдента и
доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки
параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
:
,
,
.
Фактические
значения - статистик:
.
Табличное
значение - критерия Стьюдента при и tтабл.=2,306.
Так как , ta
< tтабл.
и .
Рассчитаем
доверительные интервалы для параметров регрессии и
: и . Получим, что и .
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если
прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня.
Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
Найдем
прогнозное значение результативного фактора при
значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня , т.е.
найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя
заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.
(тыс. руб.)
Значит,
если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15
тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58
тыс. руб.
Найдем
доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
,
а
доверительный интервал ():
.
Т.е.
прогноз является статистически не точным.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в
аналитической записке.
Из
полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и
выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете
на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с
помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские
расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя
заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент
эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат
социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в
расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 % заработной
платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на
душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является
статистически не точным.
Задача
8
По группе 10 заводов,
производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости
единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс.
руб.):
у = 20 + . Доля остаточной дисперсии
в общей составила 0,19
Задание:
Определите:
а) коэффициент
эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов
составляет 200 тыс. руб.
б) индекс корреляции;
в) F-
критерий Фишера. Сделайте выводы.
Решение:
а) коэффициент
эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов
составляет 200 тыс. руб.
х = 200 тыс.
руб.
.
Таким образом, изменение технической оснащенности на 1%
приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.
б) индекс корреляции:
Уравнение регрессии:
=
23,5/10 = 2,35
Это означает, что 99,6
% вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня
технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.
в) F-
критерий Фишера. Сделайте выводы.
Fтабл.
=
4,46
Fтабл.
<
Fфакт;
Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной
зависимости и небольшим числом наблюдений.
Задача
13
По заводам, выпускающим
продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт.
Ч) от производства продукции - Х1 (тыс.ед.) и уровня
механизации труда – Х2 (%). Данные приведены в табл.4.2.
Задание
1. Постройте уравнение множественной регрессии в
стандартизованном и натуральном масштабах.
2. Определите показатели частной и множественной
корреляции.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните
их с Бэтта коэффициентами.
4. Рассчитайте общие и
частные F – критерии Фишера.
Признак |
Среднее значение |
Среднее квадратическое отклонение |
Парный коэффициент корреляции |
Y |
1050 |
28 |
ryx1
|
0.78 |
X1
|
425 |
44 |
ryx2
|
0.44 |
X2
|
42.0 |
19 |
rx1x2
|
0.39 |
Решение:
1. Постройте уравнение множественной регрессии в
стандартизованном и натуральном масштабах.
Линейное уравнение множественной регрессии у от
х1 и х2 имеет вид:
.
Для расчета его параметров применим метод
стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном
масштабе:
Расчет - коэффициентов
выполним по формулам:
Т.е.
уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Для
построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1
и b2,
используя формулы для перехода от к b.
Значение
a определим из
соотношения:
2. Определите показатели частной и множественной
корреляции.
Линейные коэффициенты частной корреляции здесь
рассчитываются по рекуррентной формуле:
Если сравнить значения коэффициентов парной и частной
корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx1x2=0,39) коэффициенты парной и частной корреляции
отличаются значительно.
Растет линейного коэффициента множественной корреляции
выполним с использованием коэффициентов и :
Зависимость у от х1 и х2 характеризуется
как тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяется
вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации
труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 %
от общей вариации y.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните
их с Бэтта коэффициентами.
Для характеристики
относительной силы влияния х1 и х2 на y
рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
С увеличением
производства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергии
возрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня
механизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006%
от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на
среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего
уровня механизации труда.
4. Рассчитайте общие и
частные F
– критерии Фишера.
Общий F-критерий проверяет гипотезу H0 о статистической значимости уравнения регрессии и
показателя тесноты связи (R2 = 0):
Fтабл.
=
9,55
Сравнивая Fтабл.
и
Fфакт.,
приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H0
и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Частные F-критерий
– Fх1. и
Fх2
оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и
х2 в уравнении множественной регрессии, оценивают
целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора,
т.е. Fх1
оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х1 после
того, как в него был включен фактор х2. Соответственно Fх2
указывает
на целесообразность включения в модель фактора х2 после
фактора х1.
Низкое значение Fх2
(меньше
1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r2yx1
за
счет включения в модель фактора х2 после фактора х1.
следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H0
о
нецелесообразности включения в модель фактора х2.
Задача 21
Модель денежного и
товарного рынков:
Rt
= a1
+ b12Yt
+ b14Mt
+ e1,
(функция денежного рынка);
Yt
= a2
+ b21Rt
+ b23It
+ b25Gt
+ e2
( функция товарного рынка);
It
= a3
+ b31Rt
+
e3
(функция инвестиций),
где R
-
процентные ставки;
Y
-
реальный ВВП;
M
-
денежная масса;
I
-
внутренние инвестиции;
G
-
реальные государственные расходы.
Решение:
Rt
= a1 + b12Yt + b14Mt + e1,
Yt
= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt
+ e2
It
= a3 + b31Rt + e3
Сt
= Yt + It + Gt
Модель представляет
собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на
идентификацию.
Модель
включает четыре эндогенные переменные (Rt,
Yt, It,
Сt) и две предопределенные
переменные ( и ).
Проверим
необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
Первое
уравнение:
Rt
= a1 + b12Yt + b14Mt + e1.
Это
уравнение содержит две эндогенные переменные и
и одну предопределенную
переменную . Таким образом,
,
т.е.
выполняется условие . Уравнение
сверхидентифицируемо.
Второе
уравнение:
Yt
= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt
+ e2.
Оно
включает три эндогенные переменные Yt,
It
и
Rt и одну предопределенную
переменную Gt.
Выполняется условие
.
Уравнение
идентифицируемо.
Третье
уравнение:
It
= a3
+ b31Rt
+
e3.
Оно
включает две эндогенные переменные It
и
Rt. Выполняется условие
.
Уравнение
идентифицируемо.
Четвертое
уравнение:
Сt
= Yt
+
It
+
Gt.
Оно
представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в
идентификации нет.
Проверим
для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим
матрицу коэффициентов при переменных модели.
|
|
|
Rt
|
|
|
|
I
уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
II
уравнение |
0 |
b23
|
|
–1 |
0 |
b25
|
III
уравнение |
0 |
–1 |
b31
|
0 |
0 |
0 |
Тождество |
–1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В соответствии с
достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных,
не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных
переменных модели без одного.
Первое
уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет
вид
|
|
Rt
|
|
|
II
уравнение |
b23
|
|
–1 |
b25
|
III
уравнение |
–1 |
b31
|
0 |
0 |
Тождество |
1 |
0 |
1 |
1 |
Ранг
данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
.
Достаточное
условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Второе
уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет
вид
|
|
|
Rt
|
|
|
|
I
уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
III
уравнение |
0 |
-1 |
b31
|
0 |
0 |
0 |
Тождество |
–1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Ранг
данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
.
Достаточное
условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Третье
уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет
вид
|
|
|
Rt
|
|
|
|
I
уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
II
уравнение |
0 |
b23
|
|
–1 |
0 |
b25
|
Тождество |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Ранг
данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
Достаточное
условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Таким
образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в
общем виде будет выглядеть следующим образом:
Rt
= a1 + b11Yt + b13Mt + b15Gt
+ b16Gt + u1
Yt
= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt
+ b26Gt + u 2
It
= a3 + b31Rt + b33It + b35Gt
+ b36Gt + u 3
Сt
= a4 + b41Rt + b43It
+ b45Gt + b46Gt + u 4
Задача
26
Имеются данные об
урожайности культур в хозяйствах области:
Варианты |
Показатели |
Год |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
Урожайность картофеля, ц/га |
63 |
64 |
69 |
81 |
84 |
96 |
106 |
109 |
Задание:
1. Обоснуйте выбор типа
уравнения тренда.
2. Рассчитайте
параметры уравнения тренда.
3.Дайте прогноз
урожайности культур на следующий год.
Решение:
1. Обоснуйте выбор типа
уравнения тренда.
Построение
аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда
называют аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяют
следующие функции:
Ø
линейная
Ø
гипербола
Ø
экспонента
Ø
степенная
функция
Ø
парабола
второго и более высоких порядков
Параметры трендов
определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n,
а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt.
Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение
скорректированного коэффициента детерминации .
Сравним значения R2
по разным уровням трендов:
Полиномиальный 6-й
степени - R2
=
0,994
Экспоненциальный - R2
=
0,975
Линейный - R2
=
0,970
Степенной - R2
=
0,864
Логарифмический - R2
=
0,829
Исходный данные лучше
всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных
значений следует использовать полиномиальное уравнение.
2. Рассчитайте
параметры уравнения тренда.
y
= - 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 +
62,25 =
= - 6377,292 +
17242,308 – 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327
3.Дайте прогноз
урожайности культур на следующий год.
Урожайность картофеля,
ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.