Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический
факультет
Кафедра
алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка
группы H.01.01.01 М-42
Мариненко
В.В.
Научный
руководитель:
доктор
физико-математических наук,
профессор
Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1.
Алгебраические группы матриц
1.1
Примеры алгебраических групп матриц
1.2 О
полугруппах
1.3
Компоненты алгебраической группы
1.4 О
-группах
2
Ранг матрицы
2.1
Возвращение к уравнениям
2.2
Ранг матрицы
2.3
Критерий совместности
3
Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1
Матрицы и отображения
3.2 Произведение матриц
3.3
Квадратные матрицы
Заключение
Список
использованных источников
Введение
Множество
матриц -ой
степени над будем рассматривать как аффинное
пространство с имеющейся на ней полиномиальной
топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные
части алгебраических множеств из , являющиеся
группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой
группы - общая линейная группа . В настоящем
параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
Все
топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает
замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем
для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, -
например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1.
Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические
матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где
- единичная матрица и штрих обозначает
транспонирование.
Диагональная
группа , группы
клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым
углом), унитреугольная группа (треугольные
матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного
вида.
Централизатор
произвольного множества из в алгебраической
группе , нормализатор замкнутого множества
из в .
Пересечение
всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из ---
алгебраическая группа. Она обозначается и
называется алгебраической группой, порожденной множеством .
Каждую
алгебраическую линейную группу из можно изоморфно
--- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой
подгруппой из в силу формулы
Такое
отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких
групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их
невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в
терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество
всех матриц из , оставляющих инвариантной
заданную невырожденную билинейную форму на
.
Пусть
--- алгебра над конечной
размерности (безразлично, ассоциативная или
нет), --- группа всех ее автоморфизмов.
Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы.
Действительно, пусть
т.
е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее
где
. Тогда задается
в матричных координатах очевидными
полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать
в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она
есть.
В
дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических
матричных групп.
1.1.1
Если матричная группа содержит
алгебраическую подгруппу конечного
индекса, то сама алгебраическая.
Доказательство.
Пусть - аннулятор группы в , - его корень в .
Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть -
смежные классы по . Для каждого выберем
многочлен
и
положим
Очевидно,
, . Получили
противоречие.
Пусть
--- алгебраическая группа, , --- подмножество
и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где
, замкнуты. Если тоже
замкнуто и --- общее поле квазиопределения
для , , , то ,
, квазиопределены
над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно,
, ), то можно
считать, что (см. 7.1.5).
Если
на множестве выполняется теоретико-групповое
тождество , то оно выполняется и на его
замыкании . В частности, коммутативность,
разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в
полиномиальной топологии.
1.2 О
полугруппах
Определим
действие элементов из на рациональные функции
из , , полагая
Для
каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть
изоморфизм полной линейной группы в группу
автоморфизмов расширения .
Имеет
место следующее предложение.
1.2.1
Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в
, то совпадает
с
Здесь
вместо можно написать .
Доказательство.
Во-первых, и, значит, .
Действительно, если , и
, то ,
т. е. . Подпространство многочленов из степени
отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а
опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на
себя, как объединение всех .
Во-вторых,
, т. е. для
каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, .
Найдём с условием .
Тогда .
В-третьих,
, т. е. для
всех , .
Действительно, . Предложение доказано.
Таким
образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается
теорией алгебраических групп.
Отметим
ещё одно полезное предложение.
1.2.2
Пусть алгебраическая группа неприводима, т.
е. --- многообразие, ---
густое подмножество, плотное в . Тогда каждый
элемент является произведением двух
элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с .
Доказательство.
Множества и тоже
густые и плотные, поэтому пересечение непусто
(см. п. 8.2).
Если
--- полугруппа из ,
то .
1.3 Компоненты
алгебраической группы
Пусть
--- алгебраическая группа матриц.
Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой
структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений,
отсутствующих в случае произвольного многообразия.
1.3.1
Теорема. Пусть --- алгебраическая группа
матриц. Её компонента , содержащая единицу,
единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные
классы по (в
частности, они являются связными компонентами группы в
полиномиальной топологии). --- единственная
связная замкнутая подгруппа конечного индекса в .
Аннулятор компоненты связан
с аннулятором всей группы следующим образом:
для некоторого , зависящего от
, где ---
аннулятор единицы в , ---
некоторый многочлен из .
Доказательство.
а) Пусть --- общее поле определения всех
компонент группы .
Пусть , содержат
единицу , ,
--- их независимые общие точки над и , . Имеем специализации
над
, откуда ,
, . Этим доказана
единственность компоненты .
б)
Очевидно, что отображения
являются
гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .
в)
Пусть . Тогда при
фиксированном --- снова все компоненты группы . В частности, ,
. Этим доказано, что ---
смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .
г)
Если --- связная замкнутая подгруппа
группы , то, предыдущему, . Если, кроме того, конечного
индекса, то она той же размерности, что и ,
потому совпадает с .
д)
Для каждого возьмем многочлен
Пусть
--- точка из ,
в которой . Рассмотрим многочлен
Он
искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения
справа налево очевидны (использовать простоту идеала ).
Остается доказать включение
Пусть
, . Имеем:
Если
, то ,
если же , ,
то . В любом случае .
Следовательно, . Теорема доказана.
Мы
видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в
полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться
только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной
приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать,
что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой
замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа
алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда
замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .
<<Только
тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить,
что
Конечная
нормальная подгруппа связной алгебраической
группы всегда лежит в центре .
В
заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле
комплексных чисел , то в алгебраической
группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно,
что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента
единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать
и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической
группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным,
если рассматривать -порцию комплексной алгебраической
группы (по поводу определения см. следующий пункт).
1.4. О -группах
Пусть
- поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая полиномиальными уравнениями с
коэффициентами в . Иначе можно сказать, что
это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы,
квазиопределенной над . Обычные алгебраические
группы тоже можно трактовать как -группы по
отношению к некоторой большей универсальной области .
В этом смысле понятие алгебраической -группы является
более общим, так как от не требуется ни
алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над
простым полем.
В
свойствах алгебраических групп и -групп много
общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством
поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз
представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем
плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие
результаты о -группах по формулировке и
доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических
группах (в ) и опираются на сведения из
алгебраической геометрии для -множеств, (по
определению, алгебраическое -множество
выделяется в уравнениями с коэффициентами из ).
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение
к уравнениям
В
арифметическом линейном пространстве столбцов высоты рассмотрим векторов
и
их линейную оболочку . Пусть дан еще один
вектор . Спрашивается, принадлежит ли подпространству ,
а если принадлежит, то каким образом его координаты выражаются
через координаты векторов . В случае вторая часть вопроса относится к значениям
координат вектора в базисе . Мы берем линейную комбинацию векторов с произвольными коэффициентами и составляем уравнение . Наглядный вид этого уравнения
есть
лишь иная запись системы из линейных
уравнений с неизвестными:
Первое
впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и
ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий.
Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В
этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи
мы часто будем обозначать сумму значком . При этом ---
величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых
выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно
понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные
суммы,
в
которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать
по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины в прямоугольную матрицу размера : в нашей воле начинать суммирование
элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие
возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг
матрицы
Назовем
пространством столбцов прямоугольной матрицы размера
введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом
или просто (в
--- вертикальный). Его размерность назовем рангом
по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг
по строкам матрицы : ,
где --- подпространство в , натянутое на векторы-строки , (г ---
горизонтальный). Другими словами,
-
ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о
существовании конечного базиса у подпространства величины
и определены
правильно.
Будем
говорить, что матрица получена из при помощи элементарного преобразования
типа (I), если для какой-то пары
индексов и для
. Если же для
всех и ,
, то говорим, что к применено
элементарное преобразование типа (II).
Заметим,
что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из при
помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного
преобразования, причем того же типа.
2.2.1
Лемма. Если матрица получена из прямоугольной
матрицы путем применения конечной
последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:
(i)
(ii)
Доказательство.
Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена
из путем применения одного элементарного
преобразования (сокращенно э. п.).
(i)
Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не
меняет . Далее, и,
следовательно, , так что не меняется и при э. п. типа (II).
(ii)
Пусть --- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что
Тогда
всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы
будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы,
чем и устанавливается равенство . Заметим еще,
что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать
импликацию в одну сторону. Пусть, например, .
Тогда, заменяя в (1) на и все на
0, мы видим, что --- решение однородной
системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме
это решение будет также решением однородной системы ,
получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей
как раз матрицу . Так как система кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению
Основным
результатом этого параграфа является следующее утверждение:
2.2.2
Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).
Доказательство.
Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу можно
привести к ступенчатому виду:
с
. Согласно лемме так
что нам достаточно доказать равенство .
Столбцы
матриц и с
номерами , отвечающими главным неизвестным линейной системы (2), будем называть
базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие
соотношения
связывающего
векторы-столбцы , ,
матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как ,
то . Значит, и
. Но пространство ,
порожденное столбцами матрицы , отождествляется
с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением
последних нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает,
что (неравенство вытекает
также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных;
проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).
С
другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно
независимы: любое гипотетическое соотношение
как
и в случае со столбцами, дает последовательно ,
, , . Откуда .
Стало быть,
2.3 Критерий
совместности
Ступенчатый
вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов
относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например,
с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных
неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства
извлекается
Следствие.
Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа
приведения ее к ступенчатому виду и равно ,
где --- матрица системы.
Действительно,
мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с
рангом матрицы . Ранг определялся нами
совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг
матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо
привходящих обстоятельств.
В
следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно,
повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого,
но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.
2.3.3
Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда
и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы
Доказательство.
Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как
вопрос о представлении вектора-столбца свободных
членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы
. Если такое представление возможно (т. е.
система (2) совместна), то и , откуда (см.
формулировку теоремы 1).
Обратно,
если ранги матриц и совпадают
и --- какая-то максимальная линейно
независимая система базисных столбцов матрицы ,
то расширенная система будет линейно зависимой,
а это означает, что --- линейная комбинация
базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть,
система (2) совместна.
3. Линейные
отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и
отображения
Пусть
и ---
арифметические линейные пространства столбцов высоты и
соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера .
Определим отображение , полагая для любого
где
--- столбцы матрицы .
Так как они имеют высоту , то в правой
части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно
(1) переписывается в виде
Если
,
то
.
Аналогично
.
Обратно,
предположим, что --- отображение множеств,
обладающее следующими двумя свойствами:
(i)
для всех ;
(ii)
для всех .
Тогда,
обозначив стандартные базисные столбцы пространств и
соответственно символами и , мы
воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору
:
Соотношение
(2) показывает, что отображение полностью
определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив
мы
обнаруживаем, что задание равносильно
заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами ,
а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .
3.1.1
. Определение. Отображение , обладающее
свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в
особенности при , говорят о линейном
преобразовании. Матрица называется матрицей
линейного отображения .
Пусть
, --- два линейных
отображения с матрицами и . Тогда равенство
равносильно совпадению значений для всех .
В частности, , откуда и
.
Резюмируем
наши результаты:
3.1.2
Теорема. Между линейными отображениями в
и матрицами размера существует
взаимно однозначное соответствие.
Следует
подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях произвольных множеств и . Условия (i),
(ii) предполагают, что и ---
подпространства арифметических линейных пространств ,
.
Обратим
внимание на специальный случай , когда линейное
отображение , обычно называемое линейной
функцией от переменных, задается скалярами :
Линейные
функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и
можно складывать и умножать на скаляры. В
самом деле, пусть --- два линейных
отображения. Отображение
определяется
своими значениями:
В
правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.
Так
как
то
- линейное отображение. По теореме 1 можно
говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :
Матрицу
с элементами естественно
назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и
:
Итак,
.
Особенно
часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных
функций снова являются линейными функциями.
3.2 Произведение
матриц
Соотношения
(5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в
множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще
важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что
композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным
образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.
Пусть
, --- линейные
отображения, --- их композиция.
Вообще
говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что ---
линейное отображение, но это довольно ясно:
(i)
;
(ii)
;
поэтому
по теореме 1 с ассоциируется вполне
определенная матрица .
Действие
отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ():
С
другой стороны,
Сравнивая
полученные выражения и памятуя о том, что ---
произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям
Будем
говорить, что матрица получается в результате умножения
матрицы на матрицу .
Принято писать . Таким образом,
произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется
прямоугольная матрица размера с элементами ,
задающимися соотношением (7). Нами доказана
3.2.1
Теорема. Произведение двух линейных
отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,
Соотношение
(8) - естественное дополнение к соотношению (6).
Мы
можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду,
однако, что символ имеет смысл только в том
случае, когда число столбцов в матрице совпадает
с числом строк в матрице . Именно при
этом условии работает правило (7) "умножения -й
строки на -й
столбец ", согласно которому
Число
строк, матрицы равно числу строк матрицы
, а число столбцов --- числу столбцов матрицы
. В частности,
произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в
этом случае, вообще говоря, , как показывает
хотя бы следующий пример:
Умножение
матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать,
например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности
с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении
естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения
относится к числу наиболее фундаментальных в математике.
Следствие.
Умножение матриц ассоциативно:
Действительно,
произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2
и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же
результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно
соотношение (7).
3.3 Квадратные
матрицы
Пусть
(или )
--- множество всех квадратных матриц ()
порядка с вещественными коэффициентами ,
Единичному
преобразованию , переводящему каждый
столбец в себя, соответствует, очевидно,
единичная матрица
Можно
записать , где
-
символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует
заменить на ,
показывает, что справедливы соотношения
Матричные
соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из
соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и
равенством (8) с .
Как
мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать
на числа, понимая под , где , матрицу .
Но
умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
-
известная нам скалярная матрица.
В
равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей .
Весьма важным для приложений является следующее его обращение.
3.3.1
Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми
матрицами в , должна быть скалярной.
Доказательство.
Введем матрицу , в которой на пересечении
-й строки и -го
столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме,
то она перестановочна,
Перемножая
матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
с
единственным ненулевым -м столбцом и
соответственно с единственной ненулевой -й
строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и
. Меняя и
, получаем требуемое.
Отметим
еще соотношения , которые непосредственно
вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из
соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.
Для
данной матрицы можно попробовать найти
такую матрицу , чтобы выполнялось условие
Если
матрица существует, то условию (12) в
терминах линейных преобразований отвечает условие
означающее,
что --- преобразование, обратное к . существует тогда
и только тогда, когда --- биективное
преобразование. При этом определено
однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что
Пусть
теперь --- какое-то биективное линейное
преобразование из в .
Обратное к нему преобразование существует, но,
вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы
и
применим к обеим частям этих равенств преобразование .
В силу его линейности получим
Так
как , то
откуда,
в соответствии с импликацией (13), находим, что ,
--- нулевые векторы. Таким образом,
выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где ---
некоторая матрица. Переписав условие ()
в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись
теоремой 1, мы придем к равенствам (12).
Итак,
матрица, обратная к , существует в точности
тогда, когда преобразование биективно. При
этом преобразование линейно. Биективность
равносильна условию, что любой
вектор-столбец записывается единственным
образом в виде (1)
где
--- столбцы матрицы (сюръективность
приводит к существованию , для которого ,
а инъективность дает единственность : если ,
то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает
с пространством столбцов матрицы , так что .
Если
матрица, обратная к , существует, то, согласно
вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ())
Квадратную
матрицу , для которой существует обратная
матрица , называют невырожденной
(или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное
преобразование . В противном случае
матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).
Резюмируем
полученные нами результаты.
3.3.2
Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда,
когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к ,
линейно и задается равенством (14).
Следствие.
Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные ---
матрицы, то произведение также
невырождено и .
Для
доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .
Нами
получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие
теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы
дистрибутивности:
где
, , --- произвольные матрицы из .
Действительно,
полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):
левая
часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно .
Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично.
Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности
для
линейных отображений , ,
из в
можно не доказывать, ссылаясь на
соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь,
выводить (16) из (), поскольку в случае
отображений, рассуждение столь же просто.
Заключение
Таким
образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы
алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо
равенство (это число называется просто
рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное
средство для вычисления ранга матрицы ,
устраняющее необходимость приведения к ступенчатому
виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка
является невырожденной тогда и только тогда,
когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к ,
линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность
влечет невырожденность и . Если --- невырожденные ---
матрицы, то произведение также
невырождено и .
Список использованных
источников
1.
Шеметков
Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
2.
Русаков
С.А., Алгебраические -арные системы. Минск,
1987. - 120с.
3.
Кон
П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
4.
Ходалевич
А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы
алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
5.
Mонaxов
В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные
группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.