Курсовая работа: Бипримарные группы
Курсовая работа: Бипримарные группы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический
факультет
Кафедра
алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ
Исполнитель:
студентка
группы H.01.01.01 М-33
Стародубова
Н.С.
Научный
руководитель:
доктор
физико-математических наук,
профессор
кафедры Алгебры и геометрии
Монахов
В. С.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1.Основные обозначения
2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
3. О произведении 2-разложимой группы
и группы Шмидта
4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
5. Произведение бипримарной и примарной групп
6. Доказательство теоремы (3)
Заключение
Список
литературы
Введение
В
данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся
произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из
которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и
2-разложимой групп.
В
третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема.
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
В
четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.
Теорема.
Пусть
есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа,
порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая
группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
Теорема.
Пусть
--- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
В
пятом пункте доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
конечная группа является
произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков,
и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа
четного порядка. Предположим, что в есть
неединичная циклическая силовская подгруппа .
Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
Теорема.
Пусть
неразрешимая группа является
произведением бипримарной подгруппы и
примарной подгруппы . Тогда, если
среди силовских подгрупп группы есть
циклическая, то изоморфна одной
из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где --- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок равен , а .
1. Основные обозначения
|
группа |
|
является подгруппой
группы
|
|
является нормальной
подгруппой группы
|
|
прямое произведение
подгрупп и
|
|
подгруппа Фраттини
группы
|
|
фактор-группа группы
по
|
|
множество всех
простых делителей натурального числа
|
|
множество всех
простых делителей порядка группы
|
|
коммутант группы
|
|
индекс подгруппы в группе
|
2. Разрешимость
факторизуемой группы с разложимыми факторами
Конечная
группа называется -разложимой для
простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней
прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима
для каждого . Через обозначается множество
всех простых делителей порядка группы .
Теорема
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема
(1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы,
являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].
Для
доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая
несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что ---
центр , а если --- подгруппа группы , то --- наименьшая нормальная
в подгруппа, содержащая . Группа называется -замкнутой, если в ней
силовская -подгруппа нормальна.
Лемма
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы , обладающие следующими
свойствами:
1)
для всех ;
2)
, где .
Тогда
.
Доказательство.
Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть --- наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой
подгруппой, сопряженной с .
Предположим, что не содержится в . Это означает, что
существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому --- собственная подгруппа
в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой
сопряженной с подгруппой, так
как этим свойством обладает . Теперь
для всех , что противоречит выбору .
Итак,
. Значит, и --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2)
следует, что и . Так как и , то . Поэтому .
Лемма
Пусть
конечная группа с -замкнутыми подгруппами и . Если , то .
Доказательство.
Так как , то для всех , . Первое условие леммы (5)
выполнено. Так как выполняется и второе, то .
Секцией
группы называется
фактор-группа некоторой подгруппы из . Если не содержит секций,
изоморфных симметрической группе четырех
символов, то называется -свободной.
Лемма
Если
конечная группа не является -свободной, то существуют -подгруппы и такие, что нормальна в и .
Доказательство.
По условию в группе существует
секция , изоморфная . Пусть --- нормальная в подгруппа индекса , содержащая подгруппу с индексом . По лемме Фраттини , где --- силовская -подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и .
Лемма
Конечная
группа, содержащая нильпотентную -холловскую
подгруппу, -разрешима.
Доказательство.
Достаточно показать непростоту группы в
случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет
нильпотентных -холловских
подгрупп [??], отличных от -силовской.
Если не -свободна, то по лемме (??)
существует ненильпотентная -подгруппа.
Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.
Через
обозначим произведение
всех разрешимых нормальных в подгрупп.
Лемма
Пусть
конечная группа и пусть разрешима, а взаимно прост с . Если в существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то разрешима.
Доказательство.
Если --- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2).
Пусть делит и --- минимальная нормальная
в подгруппа. Если , то и разрешима по индукции,
поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно
простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из
минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом
случае содержит разрешимую
нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям
леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и .
Лемма доказана.
Теорема
(??) вытекает из следующей более общей теоремы
Теорема
Пусть и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
Доказательство
индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная
в подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы и будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции разрешима, а неразрешима. Поэтому и . Следовательно, в единственная минимальная
нормальная подгруппа.
Пусть
и пусть и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и р-замкнуты и , то по лемме (??). Но содержит точно одну
минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо ,
либо . Итак для каждого , либо не делит , либо не делит . Следовательно, порядки и взаимно просты. Но теперь --- простая группа.
Так
как группа Судзуки нефакторизуема(4),
то по теореме Глаубермана (4)порядок делится
на , а по теореме Фомина (2)
порядок одного из факторов, пусть порядок ,
делится на . Теперь в существует нильпотентная -холловская подгруппа. По
лемме (3)группа разрешима.
Теорема доказана.
3.
О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
Пусть
конечная группа является
произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е.
ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
Признаки разрешимости группы при
дополнительных ограничениях на подгруппы и
получили Б. Хупперт(2), В.
А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны,
то простая группа описана автором
в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.
Основным
результатом настоящей заметки является
Теорема
Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа,
порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая
группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
обозначает
наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.
Из
этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, где состоит из простых
делителей порядка и 2 (см. теорему(2)).
В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа ,
где подгруппа есть группа
Шмидта, а --- нильпотентная
подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).
Рассматриваются
только конечные группы. обозначает
порядок группы , а --- множество всех простых
делителей . Если --- некоторое множество
простых чисел, то --- наибольшая
инвариантная в -подгруппа. --- подгруппа, порожденная
всеми сопряженными с подгруппами в . Остальные обозначения
можно найти в [??].
Свойства
групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной
работе они используются без ссылок.
Следующие
два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
Теорема
Мазуров -- Сыскин 9 Если ---
простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской
2-подгруппе из группы Шмидта, то для
некоторого .
Теорема
Гольдшмидт 10 Если в простой группе силовская 2-подгруппа неабелева и , для всех и некоторой абелевой
неединичной подгруппы из , то или .
Лемма
Пусть
разрешимая группа , где --- группа нечетного
порядка, --- 2-замкнутая группа
четного порядка и . Если , то
Доказательство
проведем индукцией по порядку группы . Введем
следующие обозначения: ; --- минимальная
инвариантная в подгруппа; ; --- силовская 2-подгруппа;
--- ее дополнение. Ясно,
что . Если , то , отсюда и . Пусть и --- минимальная
инвариантная -подгруппа в . Тогда и , где --- силовская -подгруппа для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того, неинвариантна в , значит --- собственная в подгруппа. Замечание
Фраттини дает, что . Теперь и . Так как , то , т. е. --- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.
Доказательство
теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа ---
контрпример минимального порядка. Пусть ,
--- инвариантная силовская
-подгруппа, --- силовская -подгруппа. Так как
факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря
теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .
Допустим,
что группа непроста и --- минимальная
инвариантная в подгруппа. Тогда
--- неразрешимая группа.
Предположим,
что не содержит . Тогда нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г.
Берковича (6) подгруппа имеет
четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа
в неабелева. Так как , то из свойств групп
Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа
в . Если непроста, то --- неразрешимая группа,
где --- некоторая инволюция из
центра . Так как и --- группа Шмидта четного
порядка, то по индукции , или , --- простое число.
Замечая, что и --- абелева группа порядка
4 или , получаем, что, . Теперь должно быть четным числом,
значит, . В этих случаях и --- группа кватернионов
порядка 8, что противоречит тому, что .
Следовательно, --- простая
группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна
. Поэтому , значит, и
Порядок
факторгруппы равен , и делится на . Так как , то делит порядок . Это противоречит взаимной
простоте порядков факторов.
Следовательно,
содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская
подгруппа в , то --- простая группа и по
индукции , или , где --- простое число. Так как
, разрешима, a , то . Теперь изоморфна некоторой
подгруппе из . Если или , то или . допускает факторизацию с
группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой
факторизации. Если --- простое
число, то и --- простое число. Так как
, где , то . Противоречие.
Таким
образом, --- простая группа.
Предположим,
что силовская 2-подгруппа группы абелева.
Тогда по результату Уолтера [??] группа может
быть изоморфной только одной из следующих групп: ,
или , группе Янко порядка
175560 или группе типа Ри. Из
групп для указанных лишь группы или , где --- простое число,
допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой
факторизации [??]. Порядок группы делится
более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой
централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .
В
дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как порядки
и взаимно просты, то
некоторая силовская 2-подгруппа из содержится либо в , либо в . Если , то и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае , поэтому , и делит . Так как , то делит . Но порядок делится на , а значит, и на . Противоречие.
Следовательно,
. Теперь , , --- инвариантное
2-дополнение в . Если , то и ввиду леммы Бернсайда [??].
Поэтому , --- элементарная абелева -группа и --- показатель числа по модулю . Из результатов Уолеса [??]
непосредственно получаем, что .
Противоречие.
Значит,
. Введем следующие
обозначения: --- минимальная
инвариантная в подгруппа; --- силовская подгруппа из
, содержащая ; ; . Так как , то и разрешима. Кроме того, и по лемме С. А. Чунихина
((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) не
содержит подгрупп инвариантных в .
Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что .
Так как и , то и . Таким образом, .
Пусть
. Покажем, что для всех . Возьмем произвольный
элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат
Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие.
Теорема доказана.
Лемма
Пусть --- простое число, делящее
порядки групп и . Если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, то
группа непроста.
Доказательство.
Пусть --- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в [??].
Пусть
инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля [??]
группа непроста.
Пусть
неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая
собственная подгруппа из инвариантна
в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из
. По лемме Бернсайда группа
непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа
индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме
Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А.
Чунихина.
Теперь
из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
Теорема
Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Ясно,
что условие теоремы (??) охватывает случай, когда нильпотентна.
Теорема
Пусть --- неразрешимая группа,
где --- группа Шмидта, --- нильпотентная группа.
Тогда . и --- простое число, или для некоторого простого
числа .
Доказательство.
Пусть группа --- контрпример
минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть .
Ясно, что . Группа не является произведением
группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что
порядки и не взаимно просты, а из
леммы (??) вытекает, что ---
непростая группа.
Допустим,
что порядок делится на и пусть --- силовская -подгруппа из . Тогда --- неразрешимая группа,
поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что .
Так как есть -группа, то и по лемме из (4) группа есть -группа, противоречие.
Следовательно, порядок не делится на . Но тогда делит порядок . Рассуждая как и в лемме,
получаем, что , а из следует,
что .
Пусть
--- минимальная
инвариантная в подгруппа. В
силу теоремы Виландта-Кегеля и разрешима. Если , то, применяя к индукцию, получаем, что или и --- простое число, а
группа из заключения теоремы,
противоречие. Значит, , кроме того, и , где --- силовская -подгруппа из , --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что --- простая группа. Пусть --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента
из содержит подгруппы и , что противоречит простоте
. Далее, , поэтому --- подгруппа. Но , значит, .
Пусть
--- силовская 2-подгруппа
в , тогда --- силовская в . Как и в теореме (??),
можно показать, что неабелева и неизоморфна . Значит, . Пусть , --- дополнение к в . Если , то повторение
соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем,
что изоморфна одной из
следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта должна иметь
соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17
соответственно. Но это возможно лишь когда или
и в силовская 3-подгруппа абелева. Так как и в и силовские 3-подгруппы
неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.
4.
Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
В
(1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух
подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая
--- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо
известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на
два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая
силовская подгруппа.
Развивая
указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую
теорему.
Теорема
Пусть конечная группа является
произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков,
и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа
четного порядка. Предположим, что в есть
неединичная циклическая силовская подгруппа .
Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
обозначает
произведение всех разрешимых инвариантных в подгрупп.
Следствие
Пусть группа обладает
факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок не равен 3 или 1, то разрешима.
Доказательство
теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа примарная. Описанию этого
случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена
Теорема
Пусть неразрешимая группа является
произведением бипримарной подгруппы и
примарной подгруппы . Тогда, если
среди силовских подгрупп группы есть
циклическая, то изоморфна одной
из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где --- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок равен , а .
Так
как бипримарные группы разрешимы, то группа из
теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа.
Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они
содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности
силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).
Если
будут известны все простые группы порядка ,
где , и --- различные простые
числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые
группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности
подгруппы .
Используются
следующие обозначения: и --- симметрическая и
знакопеременная группы степени , , и --- циклическая,
элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение
групп и с инвариантной подгруппой обозначается через . Примарной называется
группа, порядок которой есть степень простого числа.
Предварительные леммы
Лемма
Если группа является
произведением двух подгрупп и взаимно простых порядков и
--- субинвариантная в подгруппа, то .
Доказательство.
Если --- инвариантная в подгруппа, то --- -холловская в подгруппа, где , а --- -холловская в подгруппа(9). Поэтому . Если теперь --- инвариантная в подгруппа, то опять
и
т. д.
Лемма
Если группа является
произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы,
то разрешима.
Доказательство.
Пусть , --- -группа, --- нечетное простое
число, --- 2-разложимая группа. В
существует силовская -подгруппа такая, что , где --- некоторая силовская -подгруппа из (7). Так как разрешима, то , где --- -холловская подгруппа из . Но теперь . По лемме Бернсайда (5)группа
непроста. Инвариантная
подгруппа в по лемме факторизуема, т.
е. , поэтому разрешима по индукции.
Фактор-группа также разрешима
по индукции. Поэтому разрешима и .
Лемма
Группы и не содержат бипримарные
холловские подгруппы.
Доказательство.
Пусть . Тогда порядок равен и силовская 7-подгруппа в самоцентрализуема. Так как
порядок больше порядка , то не содержит подгруппы
порядка .
Предположим,
что существует подгруппа порядка
. По теореме Силова о числе
силовских подгрупп подгруппа 7-замкнута,
т. е. подгруппа порядка 7 из инвариантна в . Но теперь изоморфна подгруппе группы
всех автоморфизмов , которая
изоморфна . Противоречие.
Допустим,
что есть подгруппа порядка . Как и в предыдущем
случае, подгруппа не может быть
7-замкнутой. Так как индекс в нормализатора
силовской 7-подгруппы
сравним с 1 по модулю 7, то и . Поэтому 4 должно делить
порядок , а это невозможно. Таким
образом, в нет бипримарных холловских
подгрупп.
Теперь
пусть . Тогда порядок равен , силовская 3-подгруппа из неабелева и . Силовская 2-подгруппа также неабелева и имеет экспоненту 2.
Нормализатор силовской 5-подгруппы в имеет порядок 20, а
централизатор в совпадает с [??].
Предположим,
что существует подгруппа порядка
. Тогда 3-замкнута, а так как ненильпотентна, то . Подгруппа неабелева, поэтому
минимальная инвариантная в подгруппа
имеет порядок не более чем
. Теперь изоморфна подгруппе из
группы всех авторморфизмов . Но --- элементарная абелева,
поэтому , где , и имеет порядок, не
делящийся на 5. Таким образом, , но
тогда . Противоречие.
Допустим,
что существует подгруппа порядка
. Пусть --- минимальная
инвариантная в подгруппа. Так
как имеет порядок 20, то неинвариантна в и есть 2-группа. По теореме
Машке [??] подгруппа есть прямое
произведение неприводимых -групп . Подгруппа самоцентрализуема, поэтому
не централизуют и по [??] порядок равен для всех . Следовательно, и . Фактор-группа имеет порядок 20, поэтому
она 5-замкнута и инвариантна в . Теперь . Пересечение инвариантно в , поэтому . Таким образом, , и изоморфна циклической
группе порядка 4 из . Это
противоречит тому, что имеет экспоненту
2.
Если
G содержит подгруппу порядка , то
индекс этой подгруппы в будет
равен 5. Поэтому изоморфна
подгруппе симметрической группы степени
5. Но порядок больше порядка . Противоречие.
Лемма
Группа содержит подгруппу порядка
и не содержит бипримарные
холловские подгруппы других порядков.
Доказательство.
Пусть . Тогда порядок равен и --- дважды транзитивная
группа степени 13. Поэтому стабилизатор одной
точки будет холловской подгруппой порядка .
Силовская 3-подгруппа в неабелева.
Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок ,
а централизатор --- 13 [??].
Пусть
--- подгруппа порядка . По теореме Силова --- 13-замкнута. Поэтому
центр неединичен. Противоречие.
Допустим,
что есть подгруппа порядка . Так как не 13-замкнута, то
минимальная инвариантная в подгруппа
есть 3-группа. Подгруппа абелева, поэтому . Теперь силовская
13-подгруппа централизует .
Значит, центр отличен от 1.
Противоречие.
5
Произведение бипримарной и примарной групп
В
этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.
Доказательство
теоремы(3). Через обозначим
циклическую силовскую -подгруппу в . Порядки и взаимно просты, поэтому в каждая субинвариантная
подгруппа факторизуема. Фактор-группа удовлетворяет
условию теоремы(5). Так как , то при
по индукции фактор-группа изоморфна одной из групп,
перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .
Пусть
--- минимальная
инвариантная в подгруппа.
Подгруппа неразрешима и является
произведением изоморфных простых групп. Порядок делится
на , и силовская -подгруппа в --- циклическая, поэтому --- простая группа.
Предположим,
что в есть еще одна минимальная
инвариантная подгруппа . Тогда . Но силовские -подгруппы и содержатся в циклической -группе , поэтому . Следовательно, --- единственная в минимальная инвариантная
подгруппа.
Централизатор
подгруппы инвариантен в , и . Из единственности следует, что , поэтому изоморфна группе
автоморфизмов .
Порядок
простой группы делится в
точности на три простых числа и силовская -подгруппа
в циклическая. Поэтому изоморфна , где , 7, 8, 9 или 17, , , [??]. Кроме того, --- бипримарная холловская
подгруппа в . В группах , , и нет бипримарных холловских
подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).
Если
изоморфна , или 7, то и имеет порядок 2. Поэтому
либо , либо , или 7. Группа допускает единственную
факторизацию, а именно . Группа допускает только две
факторизации с взаимно простыми порядками факторов: и
.
Допустим,
что --- собственная в подгруппа. Если , то , . Так как , то --- подгруппа индекса 2 в , а . Подгруппа имеет единичный центр,
поэтому централизатор в имеет порядок 1 или 2. В
первом случае и из пункта 4) теоремы (??).
Во втором случае и силовская
2-подгруппа в ) должна быть
абелевой, что невозможно. Таким образом, если ,
то , а .
Пусть
теперь . Если , то индекс в равен 2, а так как --- совершенная группа, то
. Но это противоречит тому,
что в силовская 2-группа
диэдральная. Поэтому для одна
возможность: . Но тогда , а , т. е. для возможна единственная
факторизация, указанная в пункте 5).
Теперь
рассмотрим случай, когда . Эта
группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы.
Пусть . Так как --- подгруппа индекса 3 в , то . Причем , а . Но тогда ,а --- силовская 3-подгруппа
из .
Осталось
рассмотреть случай, когда . Так
как индекс в группе автоморфизмов равен 2, то либо , либо . Но в нет подгрупп индекса 13.
Применяя
лемму (??), заключаем, что из
пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.
Следствие
Пусть
группа является произведением
бипримарной подгруппы с неединичной
циклической силовской подгруппой и
примарной подгруппы . Тогда, если
порядок не равен 3 или 7, то разрешима.
Доказательство.
Пусть --- контрпример
минимального порядка. Так как фактор-группа неразрешима,
то из теоремы 2 следует, что она изоморфна ,
где , 7 или 8; , или 7; . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, или 7, .
Пусть
--- минимальная разрешимая
инвариантная в подгруппа. Ясно,
что есть -группа, а так как циклическая, то порядка . Централизатор подгруппы инвариантен в , поэтому . Кроме того, . Если , то разрешима по индукции, a примарна или бипримарна,
т. е. разрешима и , противоречие.
Следовательно, , и содержится в центре группы .
Пусть
--- коммутант группы . По [??] пересечение равно 1. Значит, не содержится в . Из цикличности следует, что подгруппа имеет порядок, не
делящийся на , т. е. разрешима. Теперь и разрешима, противоречие.
Следствие доказано.
Группы
Шмидта и -квазинильпотентные группы
обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие
обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].
6.
Доказательство теоремы (3)
Допустим,
что теорема неверна и группа ---
контрпример минимального порядка. Пусть ---
циклическая силовская -подгруппа в , а , где --- силовская 2-подгруппа
в , --- ее инвариантное
дополнение в . В силу леммы (??) условие
теоремы выполняется для ,
поэтому мы можем считать, что .
Пусть
--- минимальная
инвариантная в подгруппа. Тогда
неразрешима, и по лемме (??) порядок делится на . Силовская -подгруппа циклическая, поэтому --- простая группа.
Теперь, если --- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа пересекается с не по единице. Из
минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная
минимальная инвариантная в подгруппа.
Так как централизатор подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и . Следовательно, изоморфна подгруппе группы
автоморфизмов группы .
Если
--- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна . Но тогда изоморфна , противоречие.
Таким
образом, --- простая группа. В силу
теоремы (??) подгруппа неединична.
Введем
следующие обозначения: --- минимальная
инвариантная в подгруппа, --- силовская подгруппа из
, содержащая , . Так как инвариантна в , то .
Допустим,
что . Напомним, что --- наибольшая
инвариантная в группе -подгруппа. Так как и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный
элемент , . Тогда , поэтому для некоторого . Теперь . Так как инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем,
что либо абелева, либо изоморфна или . Если абелева, то группа разрешима, противоречие.
Так как , то изоморфизм с группами и ) невозможен.
Таким
образом, . Группа , и не содержит подгрупп,
инвариантных в . По лемме 1 из [??]
группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции изоморфна или .
Допустим,
что имеет четный порядок.
Подгруппа факторизуема, a инвариантна в , значит, и . Если содержит неединичную
подгруппу, инвариантную в , то и содержит подгруппу,
инвариантную в , противоречие.
По лемме 1 из [??] подгруппа неединична,
противоречие. Следовательно, порядок нечетен.
Теперь
силовская 2-подгруппа из изоморфна силовской
2-подгруппе из группы или , т. е. --- диэдральная группа
порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна или
, нечетное. Но этот
изоморфизм ввиду невозможен.
Теорема доказана.
Доказательство
следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа --- контрпример
минимального порядка. Фактор-группа неразрешима
и по теореме она изоморфна или . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно
второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к
противоречию.
Заключение
Итак,
в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся
произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая,
произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема.
Пусть
и --- подгруппы конечной
группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
Теорема.
Пусть
есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа,
порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая
группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
Теорема.
Пусть
--- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Теорема.
Пусть
конечная группа является
произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков,
и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа
четного порядка. Предположим, что в есть
неединичная циклическая силовская подгруппа .
Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
Теорема.
Пусть
неразрешимая группа является
произведением бипримарной подгруппы и
примарной подгруппы . Тогда, если
среди силовских подгрупп группы есть
циклическая, то изоморфна одной
из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где --- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок равен , а .
Список
литературы
[1]
Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y.,
Springer--Verlag, 1967.
[2]
Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con.
Ser. Math.,
№ 33, (1977), 77.
[3]
Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.
[4]
Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп,
Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и
техника", 1978, 50-63
[5]
Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5
(1972), 608-611.
[6]
В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.
[7]
В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.
[8]
И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.
[9]
П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.
[10]
В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.
[11]
С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия.
1969, М., 7, 1971.
[12]
О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.
[13]
L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.
[14]
В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.
[15]
D. Gодdsсhmidt,
Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.
[16]
Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.
[17]
В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.
[18]
Z. Jankо,
J. Algebra, 3, 147. 1966.
[19]
Н.
Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.
[20]
B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.
[21]
D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.
[22]
С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.
[23]
С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
[24]
В.
Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94,
1954.
[25]
J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.
[26]
N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.
[27]
В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.
[28]
Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН
БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.
[29]
Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.
[30]
Huppert В.,
Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.
[31]
Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow -groups, J. Algebra, 29 № 2
(1974), 246-254.
[32]
Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН
БССР,
13, № 2 (1969), 101-102.
[33]
Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.
[34]
Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН
БССР,
15, № 10 (1971), 877-880.
[35]
Gоrеnstein
D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow
2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.