Курсовая работа: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Курсовая работа: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Московский Государственный
Технический Университет им. Н.Э. Баумана
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ
Расчет стационарного
теплового поля в двумерной пластине
Преподаватель:
Станкевич И.В.
Группа:
ФН2-101
Студент:
Смирнов А.В.
Москва 2002
Содержание
Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3
Решение............................................................................................................................................................................................ 4
Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5
Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6
Список литературы:................................................................................................................................................................... 12
Постановка задачи
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей
форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах
конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом
теплообмена и температурой среды . Коэффициент
теплопроводности материала пластины
Рис.
1
Решение
Введем декартову систему координат ,
выбрав начало координат и направим оси x и y
так, как показано на рис.2.
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
(1)
(2)
(3)
где - направляющие косинусы
вектора внешней нормали к граничной поверхности, -
граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом
теплообмена , - граничная поверхность,
на которой задан тепловой поток плотности .
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить
задачей поиска минимума функционала
. (4)
Решать
поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого
сначала проведем триангуляцию нашей области.
Триангуляция.
Результат
триангуляции представлен на рис.3.
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся в
список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла
определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список
треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о
каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов,
составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется
его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может
принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые
она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2).
Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (с
номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника
поставим в соответствие функцию формы
, (5)
где , A – площадь треугольника. Тогда
температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и
значений температуры в узловых точках
. (6)
Функционал (4) можно представить в
виде суммы функционалов , каждый
из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
. (7)
Минимум функционала (4) находим из
условия
(8)
Функционал можно представить в виде
(9)
Здесь ,
глобальный вектор температур , - матрица градиентов,
которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор
температур . Здесь матрица
геометрических связей имеет
размерность . Элементы этой матрицы
определяются следующим образом: ; все
остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего
соотношения получаем , где матрица
теплопроводности элемента ;
вектор нагрузки элемента .
В силу особенностей проведенной
триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят
треугольники, у которых сторона i – j
принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона
принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют
элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе
принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и
вектор будут определяться
несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные интегралы можно
посчитать с помощью относительных координат .
Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные
части площадью . Координаты определяются из
соотношений .
Используя относительные координаты,
можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент
принадлежит к третьей группе, то .
Вектор температур, удовлетворяющий
условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных
алгебраических уравнений
, (10)
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
, . (11)
Для решения задачи (10) применялся
следующий алгоритм:
·
Вычисление разложения матрицы ().
·
Оценка числа
обусловленности. Если число обусловленности больше ( определяется точностью
вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в
коэффициентах матрицы могут привести к
большим отклонениям в решении.
·
. .
Реализация описанного выше метода проводилась на языке
программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на
рис.4 - 7.
Список
литературы:
1.
Амосов А.А,
Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб.
пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
2.
Сегерлинд Л.
Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
3.
Станкевич И. В.
Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).