Курсовая работа: Знаходження власних значеннь лінійого оператора
Курсовая работа: Знаходження власних значеннь лінійого оператора
Міністерство
освіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ
ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА
ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний
№________
Дата
___________________
КУРСОВА
РОБОТА
Тема:
Знаходження
власних значень лінійного оператора
Рекомендована
до захисту
“____”
__________ 2008р.
Робота
захищена
“____”
__________ 2008р.
з
оцінкою
_____________________
Підписи
членів комісії
Зміст
Вступ
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних
операторів
2. Матриця лінійного оператора
3. Власні вектори й власні значення лінійного
оператора
Практична частина
1. Опис програми
2. Текст програми
3. Контрольний приклад
Висновок
Список літератури
Вступ
Власні значення
грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.
Нехай в дійсному
лінійному просторі задан лінійний
оператор . Якщо вектор , відмінний від нуля,
переводиться оператором у
вектор, пропорційний самому ,
,
де – деяке дійсне число, то
вектор називається власним
вектором оператора , а число – власним значенням цього
оператора, причому, власний вектор відноситься
до власного значення .
Обертання
евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним , є прикладом лінійного
оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення
площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі
нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до
власного значення 5.
Теоретична
частина
1.
Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
В теорії лінійних
просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які
інакше називають лінійними перетвореннями.
Нехай – деякий векторний простір
над полем .
Означення 1. Вважають, що у векторному
просторі задано оператор, якщо
вказано правило (закон), за яким кожному вектору простору
ставиться у відповідність
деякий вектор цього ж
простору. Про цьому вектор називають
образом вектора , а називають прообразом
вектора .
Як бачимо,
оператор у векторному просторі – це
функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .
Означення 2. Оператор у векторному просторі називається лінійним, якщо
він задовольняє такі умови:
Лінійні оператори
в просторі називають також лінійним
перетворенням простору .
З означення 2
випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:
1. Будь-який
лінійний оператор у просторі залишає нерухомим нульовий
вектор цього простору, тобто .
2. Всякий
лінійний оператор у просторі протилежному вектору – будь-якого вектора , ставить у відповідність
вектор, протилежний образу вектора , тобто .
3. Кожен лінійний
оператор у просторі будь-який лінійний
комбінації довільно вибраних векторів простору
ставить у відповідність
лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .
2.
Матриця лінійного оператора
Нехай – деякий лінійний оператор
у просторі . Виберемо в який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього
базису в деякі вектори . Кожен
вектор єдиним способом лінійно
виражається через вектори базису .
Припустимо, що
Складемо з
коефіціентів матрицю . Рядками матриці є координатні рядки
векторів в базисі . Оскльки координатні рядки
векторів визначені однозначно, то й
матриця визначається оператором в базисі .
Будемо вважати,
що в базисі лінійний оператор задається матрицею .
Отже, при
зафіксованому базисі кожному
лінійному оператору простору відповідає певна квадратна
матриця -го порядку – матриця цього
оператора.
3. Власні
вектори й власні значення лінійного оператора
Означення 1. Підпростір лінійного простору називається інваріантним
відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора із міститься в .
Нехай –одновимірний підпростір
простору , а –деякий лінійний оператор
цього простору. Підпростір , як
відомо, породжується будь-яким своїм вектором ,
тобто є сукупністю всіх векторів виду ,
де – будь яке число з поля Р.
Якщо підпростір інваріантний
відносно оператора , то , тобто , де –деяке число з поля Р.
Тоді й для будь-якого вектора підпростору
, бо , і тому .
Означення 2. Вектор , що заддовільняє
співвідношення , де називається власним
вектором оператора , а число – власним значенням
оператора , що відповідає власному
вектору .
Отже, якщо
одглвимірний підпростір простору
інваріантний відносно
лінійного оператора , то всі вектори
цього підпростору є власними векторами оператора з
тим самим власним значенням оператора .
Практична
частина
1.
Опис програми
n – вимірність
матриці;
m – максимальне
допустиме число ітерацій;
e – точність;
a – на вході –
двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна,
причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2
містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих
(лівих) власних векторів;
t – двовимірний
масив власних векторів А;
b – цілочислова
змінна.
Лінійний оператор
потрібно задати за допомогою матриці.
2.
Текст програми
uses crt;
const dim=10;
type
ar=array[1..dim,1..dim]of real;
var ff:text;
i100,j100,n100,b,m:integer;
e:real;
a,t:ar;
procedure
eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);
var
c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;
i,j,k,n1,q:integer;
u,v,w,z:boolean;
function
zn(x:real):integer;
begin if x<0
then zn:=-1 else zn:=1; end;
begin
u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);
if
b<>0 then
begin
if
b<0 then v:=true else w:=true;
for
i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0;
end;
for q:=1 to
m do
begin
if
u then begin b:=1-q; exit; end;
i:=1; z:=false;
repeat
j:=i+1;
repeat
if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1) or
(abs(a[i,j]-a[j,i])>e1)
and
(abs(a[i,i]-a[j,j])>e1) then z:=true;
j:=j+1;
until (j>n) or z;
i:=i+1;
until (i>n1) or z;
if
not z then begin b:=q-1; exit; end;
u:=true;
for
k:=1 to n1 do
for j:=k+1 to n do
begin
h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]); y:=y+x-d;
if (i<>k) and (i<>j) then
begin
h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];
p:=x+sqr(a[j,i]); r:=d+sqr(a[k,i]);
g:=g+p+r; f:=f-p+r;
end;
end;
h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];
p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];
if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end
else
begin
x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);
s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;
end;
if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;
co:=c*c-s*s;
si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;
h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));
if abs(x)<=e
then begin ch:=1; sh:=0; end
else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;
c1:=ch*c-sh*s;
c2:=ch*c+sh*s;
s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;
if (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then
begin
u:=false;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[k,i];a[k,i]:=c1*p+s1*a[j,i];
a[j,i]:=s2*p+c2*a[j,i];
if v then
begin
p:=t[k,i]; t[k,i]:=c1*p+s1*t[j,i];
t[j,i]:=s2*p+c2*t[j,i];
end;
end;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[i,k];a[i,k]:=c2*p-s2*a[i,j];
a[i,j]:=-s1*p+c1*a[i,j];
if w then
begin
p:=t[i,k];t[i,k]:=c2*p-s2*t[i,j];
t[i,j]:=-s1*p+c1*t[i,j];
end;
end;
end;
end;
end;
b:=m;
end;
begin clrscr;
write('введите максимальное количество итераций');read(m);
write('введите точность');read(e);
assign(ff,'vlasn.dat');
reset(ff);
read(ff,n100);
for i100:=1
to n100 do
for j100:=1
to n100 do
read(ff,a[i100,j100]);
b:=0;
eigen(n100,m,e,a,t,b);
for i100:=1
to n100 do begin
for j100:=1
to n100 do
write(a[i100,j100],' ');
writeln;
end;
writeln;
writeln(b);
readkey;
end.
3.
Контрольний приклад
При e=10-8
і m=50 для матриці
за 7 ітерацій
знайдено власні значення
Тобо отримали
такі власні значення , ,
Висновок
Таким чином,
задача знаходження інваріантних відносно оператора одновимірних
підпросторів простору рівнозначна
задачі згаходження власних векторів оператора .
Список
літератури
1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва
1975
2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра
и теория чисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974
3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра
и теория чисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976