Следующий раздел: 5. Вырожденный
фермионный газ при Выше по контексту: Проект
Краткая Энциклопедия Физические Концепции Предыдущий раздел:
3. Принцип
неопределенности Алфавитный
индекс
4. Теория возмущения
Вопрос: В чем заключается теория возмущения?
Ответ: Теория возмущений позволяет исследовать сложную систему,
если известна близкая к ней система, которая хорошо изучена (видимо
потому, что она намного проще).
В широком смысле этого слова, теория возмущений есть совокупность
методов разложения в ряд Тейлора по какому-нибудь малому параметру.
Ряд Тейлора функции в окрестности
точки есть:
где -- первая
производная в точке, --
вторая производная, --
n-ая производная функции в точке
.
Разложение в ряд Тейлора позволяет находить значения функции в
точке
,
если известно ее локальное поведение вблизи точки (т.е.известны
значение функции в
и ее производные). Этот ряд есть разложение по параметру.
Если этот параметр мал (т.е. отклонение
от невелико),
то каждый член ряда мал по сравнению с предыдущим, и для вычисления
можно ограничиться небольшим количеством членов ряда.
Пример: ряд Тейлора для функции вблизи
точки имеет
вид
. Вычислим
с помощью этого ряда
. Нулевое
приближение дает
(функция
взята в точке ). Это
нас, естественно не удовлетворяет, нам нужна первая неисчезающая
поправка к значению, равному нулю. В первом приближении, учитывая
первое слагаемое ряда, имеем
, что
уже гораздо лучше. Если же мы учтем второе кубическое слагаемое,
то получим
. Если
велико,
то ряд может сходиться медленно (и тогда от него мало пользы), а
может и вообще расходиться. Т.е., теория возмущений работает, когда
отклонение от известного значения (отклонение -- это и есть возмущение)
невелико.
Конкретная схема теории возмущений сильно зависит от задачи, которую
надо решать, и методы теории возмущений очень разнообразны.
Подробнее в книгах: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Механика", том 1
курса теоретической физики, М.: Наука, 1988, А.Найфэ, "Методы
возмущений", М: Мир.
|