Следующий раздел: 1.4 Сокращение
длины Выше по контексту: 1. Специальная
Теория Относительности Предыдущий раздел: 1.2 Постулаты
СТО Алфавитный
индекс
Разделы
1. Специальная Теория Относительности
1.3 Математический аппарат СТО
Из постулатов мы можем формально вывести все остальные положения
СТО. Для этого надо сначала ввести некоторые понятия:
1.3.1 Мировая точка, мировая линия, сигнал
Будем называть мировой точкой четыре величины: время и три пространственные
координаты. Мировой линией будем называть непрерывную линию мировых
точек. Очевидно, движение материальной точки может быть представлено
в виде мировой линии. Если с мировой точкой происходит какое-то
"событие", способное повлиять на другие точки, считаем, что она
посылает "сигнал". Сигнал распространяется с максимальной скоростью
распространения взаимодействия (сигнала). Иногда инвариантность
максимальной скорости распространения взаимодействия выносят в отдельный
постулат, но вообще-то в этом особого смысла нет -- это есть следствие
принципа относительности и того экспериментального факта, что скорость
распространения взаимодействия конечна (N.B.: о ее предельности
пока речи нет).
1.3.2 Интервал
Сигнал проходит за малое время расстояние
. При этом
пространственные координаты изменились на , и . Следовательно,
(по теореме
Пифагора, ибо малое перемещение мы можем считать прямолинейным)
или же,
. Теперь,
пусть ,,, -- расстояние
между двумя произвольными близкими событиями. Введем интервал:
|
(1) |
Так как скорость распространения сигнала c не зависит от системы
отсчета, нулевой в какой-то системе отсчета интервал (соответствующий
событиям испускания и принятия сигнала) будет равен нулю и в любой
другой ИСО.
1.3.3 Пространство Минковского, инвариантность интервала
Выражение 1
было бы похоже на квадрат длины вектора в 4х-мерном евклидовом пространстве,
если бы не знаки. Однако, мы можем ввести пространство, в котором
длина вектора определяется именно таким выражением. Это псевдоевклидово
пространство Минковского. Забегая вперед, скажем, что оно характеризуется
следующей метрикой: (+1 -1 -1 -1) .
Позволим себе небольшое лирическое отступление: использование понятия
о 4х-мерном пространстве Минковского не несет в себе никакой глубокой
философской истины. Оно вводится просто как математическая сущность,
сильно упрощающая запись многих выражений. То есть, нет смысла говорить,
что "мы живем в 4х-мерном пространстве-времени, да еще с неевклидовой
метрикой" -- это будет пустое словоблудие. Не нужно пытаться что-то
себе представить, не нужно призывать "здравый смысл" -- математическая
модель (даже не модель, а просто система обозначений) в подобных
духовных упражнениях не нуждается.
Рассмотрим значение интервала в двух разных ИСО: и . и , очевидно,
являются бесконечно малыми одного порядка, и, соответственно, мы
можем сказать
, где
-- некоторая
функция, не зависящая от . Более
того, a есть функция только относительной скорости систем отсчета,
в которых измерены и (назовем
ее ). Это
утверждение очевидно -- от координат и времени a зависеть не может,
ибо это противоречило бы постулату о равнозначности всех точек пространства-времени.
Далее, a не может зависеть и от направления -- иначе
мы бы приняли существование выделенного направления в пространстве.
Определим вид функции . Для
этого рассмотрим три ИСО: , , . Соответственно,
интервал в -- , в он будет
, в
, и, так
же,
, или,
. Отсюда
немедленно получаем:
. Последовательно
поменяв местами индексы у , , , получим
систему уравнений, имеющую однозначное решение: . То есть,
.
Полученный результат об инвариантности интервала мы можем
считать формальной математической записью постулатов СТО. Этой удобной,
сжатой формой мы и будем пользоваться в дальнейшем, не аппелируя
более к выраженным в словесной форме постулатам в п.1.2.
1.3.4 Поворот в пространстве Минковского, матрица Лоренца
Теперь получим вид преобразований временной и пространственных
координат при переходе в другую ИСО.
Как было определено ранее, интервал мы можем рассматривать, как
квадрат длины некоторого вектора в пространстве Минковского.
Назовем этот вектор 4-вектором координат. Преобразование такого
вектора при переходе от одной ИСО к другой должно иметь такой вид,
чтобы длины (расстояния) в пространстве Минковского сохранялись.
По аналогии с известными нам преобразованиями в евклидовом пространстве,
назовем это поворотом (ибо в евклидовом пространстве преобразованием,
происходящим без изменения расстояний, и при этом более сложным,
чем простой параллельный перенос, является поворот). Далее будем
рассматривать поворот в одной плоскости, то есть, поворот, затрагивающий
только 2 координаты из 4х, ибо, очевидно, любой сложный поворот
можно разложить на несколько простых. Так же, отбросим чисто пространственные
повороты, не затрагивающие 0-ю координату (). И так,
получим выражение для поворота компонент вектора и вокруг
начала координат. Очевидно, мы можем потребовать инвариантности
расстояния от начала координат до заданной точки, то есть,
. Любое
преобразование, удовлетворяющее этому условию, можно записать в
форме:
|
(2) |
-- некоторая
величина, будем называть ее "углом поворота". Так же иногда называют
быстротой (N.B.!!!). Функции и называются
гиперболическими косинусом и синусом
соответственно, причем
следовательно
.
Доказательство универсальности подобной записи приводить не будем,
ибо оно элементарно.
Пусть . Тогда
можем записать:
.
-- очевидно,
скорость движения начала координат системы со штрихом относительно
системы без штриха, то есть . Перепишем:
. Вот,
собственно, мы и получили вид преобразования. Осталось избавиться
от гиперболических функций (чисто для удобства). Введем обозначения:
,
. Тогда
значения гиперболического синуса и гиперболического косинуса можно
записать как:
,
. будем
называть относительной скоростью, или просто скоростью.
Перепишем матрицу этого поворота:
|
(3) |
Поворот вектора-столбца
будем
записывать, как
(поворот
в плоскости , то есть,
переход от системы отсчета , которая
движется относительно K с относительной скоростью , ее оси
параллельны осям , и движение
происходит параллельно оси ). Эта
матрица поворота называется иногда матрицей Лоренца, и преобразования
координат-времени такого вида называется преобразованиями Лоренца.
Еще это преобразование иногда называют бустом.
1.3.5 Общепринятые обозначения
Общепринятые обозначения: 4х-вектор, метрический тензор, ковариантные
и контрвариантные величины, немые индексы.
Для обозначения физических величин в пространстве Минковского удобно
использовать 4х-векторы. По определению, 4х-вектором является величина,
которая преобразуется при переходе из одной ИСО в другую в соответствии
с преобразованием Лоренца:
. Очевидно,
мы можем получить из одного 4х-вектора другой 4х-вектор, домножая
его на инвариантную величину. Во всех остальных случаях справедливость
вывода 4х-вектора надо доказывать (см. вывод 4х-скорости). Компоненты
4х-вектора можно записывать в двух формах: ковариантной и контрвариантной.
Ковариантная величина пишется с индексом снизу (e.g. ), а контрвариантная
-- с индексом сверху (e.g $P^&mu#mu;). Ковариантная величина
получается из контрвариантной так: , , , . То есть,
квадрат длины четырехвектора мы можем записать как
Вообще принято соглашение, по которому в подобных выражениях знак
суммы опускается, то есть
, и говорится,
что индекс пробегает значения от 0 до 3, и подразумевается суммирование
по этому индексу. Если индексов 2, то подразумевается два суммирования.
Такая запись называется записью с немыми индексами. Для удобства
преобразования ко- и контрвариантных величин можно ввести так называемый
метрический тензор (метрику пространства Минковского), который имеет
вид:
|
(4) |
Тогда преобразование в можно
записать как:
.
Так же, скалярное произведение любых двух 4-векторов вводится как
Одно поднятие или опускание индекса при меняет
знак на противоположный.
Все это кажется странной и ненужной заумью, однако, как в дальнейшем
будет показано, использование метрического тензора и немых индексов
очень сильно упрощает запись многих выражений.
1.3.6 Группа Лоренца, группа Пуанкаре
Введем понятие группы преобразований. Пусть есть два преобразования
и .
называется
группой, если для любых и , таких,
что , , выполняются
следующие условия:
- 1.
- ,
- 2.
- ( --
единичное преобразование, )
- 3.
-
--
обратное преобразование.
Очевидно, преобразования вида образуют
группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение
двух 4-векторов является инвариантом. Если и -- тензоры,
то инвариантом группы Лоренца будет
Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.
Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца:
.
Возможны следующие частные случаи:
- 1.
-
;
; --
это преобразование группы Лоренца.
- 2.
-
;
,
и т.д. -- это преобразование группы Пуанкаре, то есть, преобразования
с обращением времени и/или зеркальным отображением пространства.
|